2015-07-14
3082
Определение: (многочлена Тейлора) Пусть функция y=f(x) – n – раз дифференцируема в точке х0 многочлен (полином) вида
Tn(х)=f(x0)+[f’(x0)(x-x0)]/1!+ [f’’(x0)(x-x0)2]/2!+ [fn(x0)(x-x0)]/n! называется многочлен Тейлора с центром в точке х0 или многочленом по степеням (х-х0)
Свойства многочлена Тейлора.
Теорема: (основное свойство многочлена Тейлора) Пусть функция y=f(x) – n – раз дифференцируема в точке х0 f(x)=Tn(x0); f’(x0)=Tn’(x0),…,f(n)(x0)=Tn(n)(x0)
Доказательство; (подстановкой) Tn(х)=f(x0)+[f’(x0)(x-x0)]/1!+ [f’’(x0)(x-x0)2]/2!+ [fn(x0)(x-x0)]/n!, подставим х0 получим Tn(x0)=f(x0). Продифференцируем многочлен Тейлора
Tn’(x)=f’(x0)/1!+[f’’(x0)2(x-x0)]/2!+ [f’’’(x0)3(x-x0)2]/3!+ [fn(x0)n(x-x0)n-1]/n!, подставим вместо х х0
Tn(x0)=f(x0)
Tn’’(x)=f’’(x0)/1!+[f’’’(x0)3·2(x-x0)]/3!+…+ [f(n)(x0)n(n-1)(x-x0)n-2]/n!
Tn’’(x)=f’’(x0)
Формула Тейлора с остаточным членом пеано.
Теорема: Пусть функция y=f(x) – n – раз дифференцируема в точке х0, тогда в О(х0) f(x)=Tn(x)+o((x-x0)n), x®x0
f(x)= f(x0)+[f’(x0)(x-x0)]/1!+ [f’’(x0)(x-x0)2]/2!+ [fn(x0)(x-x0)n]/n!+0((x-x0)n)(x-x0)1
lim[f(x)-Tn(x)]/(x-x0)n=(0/0)=lim [f’(x)-Tn’(x)]/n(x-x0)n-1=(0/0)=….=lim [f(n)(x)-Tn(n)(x)]/n!=0 Þ функция
x®x° x®x° x®x°
[f(x)-Tn(x)]/(x-x0)n=a(х-х0)ii Þ f(x)-Tn(x)=(x-x0)na(x-x0)=0((x-x0)n) при х®х0 что и требовалось доказать.
Замечание: в случае если х0=0 формула Тейлора называется Маклорена f(x)=f(0)+[f’(0)x]/1!+ [f’’(0)x2]/2!+ [fn(0)xn]/n!+0xn при х®0
[1] На концах отрезка [a,b] и на концах принимает значение разных знаков
[2] a(x-x0)-бесконечно малое при х®х0
1 x¹0
1 a(∆x) – бесконечно малое при ∆х®0, а a(∆x)∆х – есть о∆х
1 Y – ордината касательной
a – x-x0 =∆x
1 ∆-погрешность вычисления.
Теорема –Если f(x) непрерывна на [a,b] дифференцируема на отрезке (а,b), то $ сÎ(a,b): f(b)-f(a)=f(c)(b-a)
1 (x-x0)=∆x
1 Теорема – Если f(x) непрерывна на [a,b] дифференцируема на отрезке (а,b), то $ сÎ(a,b): f(b)-f(a)=f(c)(b-a)
II – g’(c1)=0 по условия теоремы
III – (b-a)=0
4 - Теорема (Ролля): Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на (a,b). Кроме того на концах интервала она принемает равные значения f(a)=f(b), тогда $ сÎ(a,b): f(c)=0
1 0((x-x0)n)(x-x0) – остаточный член в форме пеано
ii a(х-х0) – бесконечно малое при х®х0
