Следствие

◊◊ … ◊ А ≡ ◊ А

^{к раз}

Из утверждений 1 и 2 следует, что в любой сложной модальности одинаковые модальности, стоящие подряд можно, заменить на одну.

Утверждение3. ◊ □ ◊□ А ≡ ◊□ А

Доказательство: необходимо доказать две импликации

а) ◊□ А ◊□ ◊□ А

б) ◊□ ◊□ А ◊□ А

а)

1. ◊□ А ≡◊ □□□ А по ВП3.

2. Достаточно доказать ◊□□□ А ◊□ ◊□ А

3. По ВП3 достаточно доказать □□□ А □◊□ А

4. По ВП1 достаточно доказать □□А ◊□А

5. но □ В ◊ В, для любой формулы В, т.к.

□ В В и В ◊В – аксиомы А3.

б)

1. ◊□ А ≡ ◊◊◊□ А по утверждению 2.

2. Достаточно доказать ◊□ ◊□ А ◊◊◊□ А

3. По ВП3 достаточно доказать □◊□ А ◊◊□ А

4. но □ В ◊В для любой формулы В.

Утверждение4. □◊ □ ◊ А ≡ □ ◊А

Доказательство: