Особенности действий с определителями

Если все элементы некоторой строки определителя имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

; det(AB) = detAdetB

Если матрица А имеет два параллельных пропорциональных ряда, то detA = 0 т.е. все строки матрицы для того, чтобы detA ¹ 0 не должны быть линейнозависимыми.

Если в матрице А_n´n выделить какой-либо элемент а_ij и вычеркнуть из нее i-ю строку и j-й столбец, то получается новая квадратная матрица порядка (n – 1). Ее определитель называется минором а_ij и обозначается М^(ij).

Величина D^(ij) = (-1)^i+jM^(ij) называется алгебраическим дополнением элемента а_ij справедлива формула .

Если вместо матрицы А составить новую матрицу состоящую из алгебраических дополнений, то получим взаимную или союзную или присоединенную матрицу. Если все элементы взаимной транспонированной матрицы разделить на определитель, то получим обратную матрицу

Если detA ¹ 0, то матрица А называется неособенной или невырожденной. Для невырожденной матрицы существует единственная обратная матрица:

АА^-1 = А^-1А = Е; (А^-1)^-1 = А; (АВС)^-1 = С^-1В^-1А^-1.

Если матрица А – симметричная, то матрица А^-1 также симметричная

; ; ;

Определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов.

Имеем матрицу

;

матрица алгебраического дополнения

Рангом матрицы А, rk(A) называется порядок отличных от нуля миноров образованных из этой матрицы. Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк или столбцов этой матрицы.

Для квадратной матрицы n-го порядка rk(A) = n тогда и только тогда, когда матрица невырожденная.

Следом квадратной матрицы называют сумму ее диагональных элементов

;