Транзитивность

Отношение предпочтения на Х транзитивно, если из того, что x предпочтительнее, чем у, а у предпочтительнее, чем z, следует, что х предпочтительнее, чем z. В целом это свойство кажется разумным, поэтому будем предполагать, что оно выполняется в большинстве дальнейших рассуждений. Транзитивность нарушается, если (х у, у z, x z) или (х у, у z, z х) для некоторых х, у и z из Х.

Несмотря на очевидную разумность предположения о транзитивности предпочтений, имеется достаточно примеров и наблюдений, из которых видно, что здравомыслящие люди могут иметь нетранзитивные предпочтения в некоторых ситуациях. Альтернативы, используемые, чтобы проиллюстрировать этот факт, обычно включают несколько критериев или характерных признаков, как в следующем примере, когда молодому ученому предлагается выбрать место академической работы в должности:

(а) х: ассистента в очень известном университете с окладом $15000;

(б) у: доцента в университете штата N с окладом $18000;

(с) z: профессора в малоизвестном: колледже с окладом $21000.

Ученый предпочитает х больше, чем у, рассудив, что престиж известного университета стоит $3000; исходя из аналогичных соображений, он предпочитает у больше, чем z, но, сравнивая х и z, он чувствует, что занимаемый пост и величина оклада перевешивают престижность, поэтому он предпочитает z по сравнению с х. В описанной ситуации его предпочтения образуют цикл х у, у z, z х.

Приведенный пример хорошо иллюстрирует проблему, возникающую в теории выбора, а именно то, что бинарное отношение не дает путеводной нити для ·выхода из цикла, не позволяет сделать выбор между х, у и z, когда каждая альтернатива менее предпочтительна, чем некоторая другая. Следовательно, здесь нет самой предпочтительной альтернативы. Таким образом, теория выбора, которая сможет учесть и разрешить циклические предпочтения, должна быть «богаче» и «глубже» по сравнению с теоретическими построениями, обсуждаемыми в данной главе.

Отношение безразличия (~) на Х транзитивно, если из того, что х безразличен по отношению к у, а у безразличен к z, следует, что х безразличен по отношению к z. Отношение безразличия не транзитивно, если существуют х, у и z, для которых х~у, y~z и x~z. Хотя во многих примерах нетранзитивных безразличий используется несколько критериев или характерных признаков, можно привести и простейшие «одномерные» примеры, демонстрирующие тот же факт. Для этого можно рассмотреть ситуацию с некоторым пороговым предпочтением, которое остается незамеченным благодаря несущественным или малым различиям в предпочтениях. Например, в чашку с кофе добавляют один за другим маленькие кусочки сахара. Можно ожидать безразличного отношения к х и (х+1) кусочкам сахара для х, скажем, в пределах от 0 до 5000, но трудно ожидать одинакового отношения к двум чашкам кофе, в одной из которых нет сахара, а в другой х= 5000.

В случае, когда предпочтения не образуют циклов, а безразличие не предполагается транзитивным, каждое непустое конечное подмножество Х содержит максимально предпочтительную альтернативу, то есть, одна из альтернатив не менее предпочтительна, чем любая другая альтернатива из данного подмножества. В этом случае можно выделить самую предпочтительную альтернативу с помощью некоторого численного представления предпочтений, при котором u(х) больше, чем u(у) при х у. (Запись u(х) означает: «полезность х»).

Будем говорить, что бинарное отношение является слабым упорядочением, если отношения и ~ транзитивны. Эквивалентным будет утверждение, что отношение является слабым упорядочением, если оно отрицательно транзитивно (и асимметрично, как предполагалось ранее). Поскольку отрицательная транзитивность означает, что при х у либо х z, либо z у, то говорят, что между х и z или между у и z будет существовать «явное» предпочтение, если х не безразличен по отношению к у. Отсюда следует транзитивность отношения безразличия. Когда отношение задает слабое упорядочение, то отношение определенное из (1.2), является транзитивным и связным. Обычно транзитивное и связное отношение называют слабым порядком или полным предпорядком. Таким образом, мы используем в качестве слабого упорядочения отношение , тогда как традиционным считается слабое упорядочение, задаваемое отношением .

В рассуждениях, приведенных ниже, предполагается, что от­ношение - слабое упорядочение. Тогда, поскольку отношение ~ транзитивно, оно является отношением эквивалентности (транзитивным, симметричным, рефлексивным) и, следовательно, может быть использовано для разделения (разбиения) множества Х на классы эквивалентности или классы безразличия. Такие классы представляют собой непустые множества из Х: если А и В - два различных класса и х лежит в А, а у - в В, то x~у тогда и только тогда, когда А=В; если же х у, то х' у' для любого х' из А и каждого у' из В. На рисунке 2 изображены классы безразличия для случая двух продуктов или двух характерных признаков. Классы безразличия представляют собой кривые, на каждой из которых любые две точки находятся в отношении безразличия, а предпочтение возрастает по мере удаления от начала координат. Поскольку

кривые имеют отрицательный наклон, то с уменьшением x₁ должно увеличиваться x₂, чтобы сохранялось отношение безразличия вдоль кривой. Эти кривые называют также кривыми обмена или траекториями безразличия.

В случае большой размерности говорят уже о поверхностях безразличия или о поверхностях обмена. Экономисты используют термин «карта безразличия», понимая под этим набор траекторий безразличия. В экономических исследованиях часто предполагается, что траектории выпуклы в сторону начала координат, как, например, кривые, расположенные вблизи начала координат на рисунке 2.