Производные высших порядков

Пусть f(x,y) — функция двух переменных x, у, определенная в некоторой окрестности точки (х_о, у_о). Если существует конечный предел

то говорят, что функция f\x,y) имеет в точке (х_о, у_о) частную производную по переменной x. Аналогично определяется частная производная по у. Обозначают

Пусть f(x), x = (x₁, x₂, …, x_n) Î G Ì Rⁿ — функция п переменных, определенная в области G п -мерного пространства Rⁿ.

Частной производной функции f(x₁, x₂, …, x_n) по переменной x, называется конечный предел

Обозначаем

Для приращения дифференцируемой функции f(x₁, x₂, …, x_n) спра­ведливо равенство

Если в пространстве Rⁿ задан единичный вектор

то изменение дифференцируемой функции f(x) в направлении l харак­теризуется производной по направлению:

где (grad f, l) — скалярное произведение вектора

на вектор направления l

Поскольку — , где j — угол между векторами grad f и l, то вектор grad f указывает направление наискорейшего возрастания функции f(x).

Дифференцируя частную производную как функцию нескольких переменных по одной из переменных, получим частные производные второго порядка:

Если смешанные производные и непрерывны, то их значения не зависят от порядка дифференцирования.

Аналогично определяются производные более высоких порядков: