Взаимное расположение прямой и плоскости

Пусть заданы прямая и плоскость . Угол между ними можно найти по формуле

Задача 73. Написать канонические уравнения прямой

(11)

Решение. Для того чтобы записать канонические уравнения прямой (9), необходимо знать любую точку, принадлежащую прямой, и направляющий вектор прямой.

Найдём вектор , параллельный данной прямой. Так как он должен быть перпендикулярен к нормальным векторам данных плоскостей, т. е.

, , то

Из общих уравнений прямой имеем, что , . Тогда

Так как точка любая точка прямой, то её координаты должны удовлетворять уравнениям прямой и одну из них можно задать, например, , две другие координаты найдём из системы (11):

Отсюда, .

Таким образом, канонические уравнения искомой прямой имеют вид:

или .

Задача 74. Вычислить расстояние между параллельными прямыми:

и .

Решение. Из канонических уравнений первой прямой известны координаты точки , принадлежащей прямой, и координаты направляющего вектора . Из канонических уравнений второй прямой также известны координаты точки и координаты направляющего вектора .

Расстояние между параллельными прямыми равно расстоянию точки от второй прямой. Это расстояние вычисляется по формуле

Найдём координаты вектора .

Вычислим векторное произведение :

Тогда

Задача 75. Найти точку симметричную точке относительно прямой

Решение. Запишем уравнение плоскости перпендикулярной к данной прямой и проходящей через точку . В качестве её вектора нормали можно взять направляющий вектор прямой. Тогда . Следовательно,

Найдём точку точку пересечения данной прямой и плоскости П. Для этого запишем параметрические уравнения прямой, используя уравнения (10), получим

Далее, решим систему, в которую входит уравнение плоскости и параметрические уравнения прямой:

Следовательно, .

Пусть точка симметричная точке относительно данной прямой. Тогда точка середина отрезка . Для нахождения координат точки используем формулы координат середины отрезка:

, , .

Получим

, ,

Итак, .

Задача 76. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую и

а) через точку ;

б) перпендикулярно плоскости .

Решение. Запишем общие уравнения данной прямой. Для этого рассмотрим два равенства:

Это означает, что искомая плоскость принадлежит пучку плоскостей с образующими и её уравнение может быть записано в виде (8):

(12)

а) Найдём и из условия, что плоскость проходит через точку , следовательно, её координаты должны удовлетворять уравнению плоскости. Подставим координаты точки в уравнение пучка плоскостей:

Найденное значение подставим в уравнение (12). получим уравнение искомой плоскости:

б) Найдём и из условия, что искомая плоскость перпендикулярна плоскости . Вектор нормали данной плоскости , вектор нормали искомой плоскости (см. уравнение пучка плоскостей (12).