Одним из замечательных свойств линейных уравнений является то, что общее решение таких уравнений можно найти по их известным частным решениям.
Теорема. Если - линейно независимые частные решения уравнения
,
то есть общее решение этого уравнения ( -произвольные постоянные).
Примечание. Функции называются линейно независимыми в промежутке , если они не связаны никаким тождеством
,
где -какие-нибудь постоянные, не равные нулю одновременно.
Для случая двух функций это условие можно сформулировать и так: две функции и линейно независимы, если их отношение не является постоянной величиной:
.
Достаточным условием линейной независимости функций, непрерывных вместе со своими производными до -го порядка в промежутке , является то, что определитель Вронского (вронскиан) этих функций не равен нулю ни в одной точке промежутка , т.е.
.
Если данные функций являются частными решениями линейного однородного дифференциального уравнения -го порядка, то это условие (необращение в нуль) является не только достаточным, но и необходимым условием линейной независимости этих решений.
|
|
Вронскиан решений линейного однородного дифференциального уравнения -го порядка
связан с первым коэффициентом этого уравнения формулой Лиувилля-Остроградского:
Совокупность решений линейного однородного дифференциального уравнения -го порядка, определенных и линейно независимых в промежутке , называется фундаментальной системой решений этого уравнения.
Для линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка
фундаментальная система состоит из двух линейно независимых решений и ; его общее решение находится по формуле
.
Если для такого уравнения известно одно частное решение , то второе его решение, линейно независимое с первым, можно найти по формуле (являющейся следствием формулы Лиувилля-Остроградского)
.
Это дает возможность интегрировать линейные однородные уравнения второго порядка, для которых известно одно частное решение, сразу, не прибегая к понижению их порядка.