Рассмотрим нелинейную систему уравнений
(1.1)
с действительными левыми частями.
Запишем короче систему (1.1). Совокупность аргументов можно рассматривать как - мерный вектор
.
Аналогично совокупность функций представляет собой также - мерный вектор (вектор-функцию)
.
Поэтому система (1.1) кратко записывается так:
. (1.1/ )
Для решения системы (1.1/ ) будем пользоваться методом последовательных приближений.
Предположим, что найдено -е приближение
одного из изолированных корней векторного уравнения (1.1/ ).
Тогда точный корень уравнения (1.1/ ) можно представить в виде
, (1.2)
где - поправка (погрешность корня).
Подставляя выражение (1.2) в уравнение (1.1/ ), будем иметь:
. (1.3)
Предполагая, что функция непрерывно дифференцируема в некоторой области, содержащей и , разложим левую часть уравнения (1.3) по степеням малого вектора , ограничиваясь линейными членами,
. (1.4)
или, в развернутом виде,
(1.4/ )
Из формул (1.4) и (1.4/ ) вытекает, что под производной следует понимать матрицу Якоби системы функций относительно переменных , т.е.
|
|
,
или в краткой записи
.
Система (1.4/) представляет собой линейную систему относительно поправок с матрицей , поэтому формула (1.4) может быть записана в следующем виде:
.
Отсюда, предполагая, что матрица - неособенная, получим:
.
Следовательно,
, (1.5)
где за можно взять грубое значение искомого корня.
При практическом применении метода Ньютона для решения нелинейных систем вычисления по формуле (1.5) прекращают, когда
. (1.6)
Итак, исходя из вышеизложенного, запишем алгоритм метода Ньютона:
1. Определяем начальное приближение .
2. Уточняем значение корня по формуле (1.5).
3. Если условие (1.6) выполняется, то задача решена и - корни системы нелинейных уравнений, иначе переходим к п. 2.
Будем считать, что функции нелинейной системы (1.1/ ) и матрица их производных уже определены, тогда блок-схема алгоритма решения этой системы имеет вид:
1.2. Реализация метода Ньютона в|посредством| MathCad
Пример. Решить нелинейную систему уравнений методом Ньютона
с точностью .
Приведем решение нелинейной системы уравнений с помощью|посредством| программного комплекса MathCad:
Номер первой строки (столбца) матрицы или первой компоненты вектора хранится в MathCad в переменной ORIGIN. По умолчанию в MathCad координаты векторов, столбцы и строки матрицы нумеруются начиная с 0 (ORIGIN:=0). Поскольку в математической записи чаще используется нумерация с 1, здесь и в дальнейшем перед началом работы с матрицами будем определять значение переменной ORIGIN равным 1, т.е. будем выполнять команду ORIGIN:=1. Далее определяем функции F1 и F2 нелинейной системы и находим графическое решение системы.
|
|
Процесс отыскания корней системы при помощи метода Ньютона организован в виде функции, входные параметры которой – вектор начальных приближений x0 и точность вычислений (), где за x0 можно взять грубое значение искомого корня – приблизительные координаты точки пересечения графиков функций: – грубое значение первого корня, затем – грубое значение второго корня.