Однородные линейные уравнения

Лекция 5. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Рассмотрим уравнение вида

, (5.1)

в котором коэффициенты - постоянные вещественные числа, это уравнение будет называться линейным однородным уравнением, т.к. его правая часть равна нулю.

Функция называется общим решением уравнения n -го порядка, если при соответствующем выборе произвольных постоянных С ₁, С ₂, С ₃ ,…, С_n эта функция является решением любой задачи Коши, поставленной для данного уравнения. Всякое решение, получаемое из общего решения при конкретных значениях постоянных С ₁, С ₂, С ₃ ,…, С_n, называется частным решением этого уравнения.

Для уравнения n -го порядка можно также как и для уравнений первого порядка можно поставить задачу Коши, которая состоит в том, чтобы найти решение уравнения, удовлетворяющее условиям:

при , (5.2)

где - заданные числа, которые называются начальными данными, или начальными условиями. Кроме того, однородное линейное (5.1) уравнение всегда имеет нулевое решение и оно удовлетворяет нулевым начальным условиям

, (5.3)

причем других решений с такими же начальными условиями, нет.

Для построения общего решения однородного линейного уравнения (5.1) достаточно знать п линейно независимых в интервале [a,b] частных решений , т.е. таких решений, для которых тождество

a < x < b,

где - постоянные числа, может выполняться только в том случае, когда . Такая система решений называется фундаментальной. Для того, чтобы система решений была фундаментальной необходимо и достаточно, чтобы решения были линейно независимыми, а также ее определитель, который называется определителем Вронского или вронскианом

, (5.4)

должен быть отличным от нуля хотя бы в одной точке из интервала [a,b]. Для того, чтобы определить линейную независимость двух решений у ₁ и у ₂, необходимо вычислить отношение этих решений и, если они неравны константе, т.е. или , то полученные решения будут линейно независимыми и из них можно составлять общее решение исходного уравнения.

Пример 1. Дано уравнение: . Составляют ли фундаментальную систему решений функции , являющиеся решениями этого уравнения?

▲ Фундаментальная система решений должна состоять из линейно независимых решений исходного уравнения. Поэтому необходимо выяснить являются ли функции линейно независимыми. Для этого вычислим вронскиан (5.4):

Этот определитель равен нулю, так как элементы 1-й и 3-й строк одинаковы. Следовательно, функции являются линейно зависимыми, а поэтому они не могут составлять фундаментальную систем. Таким образом, составить общее решение по этим частным решениям нельзя. ▲

Фундаментальная система решений однородного уравнения (5.1) называется нормированной в точке х = х ₀, если эти решения удовлетворяют соответственно следующим начальным условиям:

при х = х ₀.

Если найдена фундаментальная система решений однородного уравнения (5.1), то формула

, (5.5)

где - произвольные постоянные, дает общее решение этого уравнения в области

a < x < b, < +¥, < +¥, …, < +¥.

Все решения уравнения (5.1) содержаться в формуле (5.5).

Рассмотрим метод нахождения общего решения уравнения (5.1), который предложил Эйлер. Суть его заключается в том, что частное решение уравнения (5.1) ищется в виде

, (5.6)

где l - некоторое вещественное или комплексное постоянное число, подлежащее определению.

Найдя производные решения (5.6)

и подставляя их, а также функцию (5.6) в уравнение (5.1), будем иметь

, (5.7)

т.к. экспонента - никогда неравна нулю, то поделив это уравнение на , получим алгебраическое уравнение вида

, (5.8)

которое называется характеристическим уравнением, а его корни – характеристическими числами уравнения (5.8).

Структура фундаментальной системы решений , а также общего решения уравнения (5.1) зависит от вида корней характеристического уравнения (5.8).

Рассмотрим правила построения фундаментальной системы, общего решения однородного уравнения.

Правило 1. Если все корни характеристического уравнения (5.8) действительные и различные числа, то есть , то соответствующее им частные решения

образуют фундаментальную систему, следовательно, общее решение уравнения (5.1) в этом случае имеет вид:

, (5.9)

где - произвольные постоянные.

Правило 2. Среди корней характеристического уравнения (5.8) имеются комплексно-сопряженные, то есть .

Соответствующее корню решение принимает мнимую форму:

Чтобы освободиться от мнимой формы, преобразуем это решение по формуле Эйлера:

Отсюда выделяем действительные части, получаем два линейно независимых частных решения уже в вещественной форме:

и . (5.10)

Теперь рассмотрим решение соответствующее корню :

Освободимся от мнимой формы, преобразуем это решение по формуле Эйлера:

и . (5.11)

Анализируя полученные решения (5.10) и (5.11) приходи к выводу, что решения (5.10) являются линейно зависимыми с решениями (5.11), поскольку их отношения и , и поэтому решения и не могут входить в фундаментальную систему решений.

Таким образом, фундаментальная система решений будет состоять из частных решений (5.10), а компонента общего решения уравнения (5.1) соответствующая корням будет иметь вид

. (5.12)

Если корни характеристического уравнения исключительно мнимые: , то соответствующими независимыми частными решениями будут решения вида

Следовательно, корням в формуле общего решения уравнения (5.1) соответствует выражение вида

, (5.13)

где - произвольные постоянные.

Правило 3. Среди корней характеристического уравнения имеются кратные.

3.1. Пусть среди корней характеристического уравнения есть действительные кратные корни , то корню l ^* кратности k соответствуют k линейно независимых частных решения

а соответствующая компонента общего решения уравнения (5.1) имеет вид:

, (5.14)

где - произвольные постоянные.

3.2. Пусть среди корней характеристического уравнения есть комплексный корень кратности k, а это значит, что есть также и сопряженный ему корень той же кратности. В этом случае паре корней соответствуют 2 k линейно независимых частных решения: