double arrow

Однородные линейные уравнения


Лекция 5. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Рассмотрим уравнение вида

, (5.1)

в котором коэффициенты - постоянные вещественные числа, это уравнение будет называться линейным однородным уравнением, т.к. его правая часть равна нулю.

Функция называется общим решением уравнения n-го порядка, если при соответствующем выборе произвольных постоянных С1, С2, С3,…, Сn эта функция является решением любой задачи Коши, поставленной для данного уравнения. Всякое решение, получаемое из общего решения при конкретных значениях постоянных С1, С2, С3,…, Сn , называется частным решением этого уравнения.

Для уравнения n-го порядка можно также как и для уравнений первого порядка можно поставить задачу Коши, которая состоит в том, чтобы найти решение уравнения, удовлетворяющее условиям:

при , (5.2)

где - заданные числа, которые называются начальными данными, или начальными условиями. Кроме того, однородное линейное (5.1) уравнение всегда имеет нулевое решение и оно удовлетворяет нулевым начальным условиям

, (5.3)

причем других решений с такими же начальными условиями, нет.




Для построения общего решения однородного линейного уравнения (5.1) достаточно знать п линейно независимых в интервале [a,b] частных решений , т.е. таких решений, для которых тождество

a < x < b,

где - постоянные числа, может выполняться только в том случае, когда . Такая система решений называется фундаментальной. Для того, чтобы система решений была фундаментальной необходимо и достаточно, чтобы решения были линейно независимыми, а также ее определитель, который называется определителем Вронского или вронскианом

, (5.4)

должен быть отличным от нуля хотя бы в одной точке из интервала [a,b]. Для того, чтобы определить линейную независимость двух решений у1 и у2, необходимо вычислить отношение этих решений и, если они неравны константе, т.е. или , то полученные решения будут линейно независимыми и из них можно составлять общее решение исходного уравнения.

Пример 1. Дано уравнение: . Составляют ли фундаментальную систему решений функции , являющиеся решениями этого уравнения?

▲ Фундаментальная система решений должна состоять из линейно независимых решений исходного уравнения. Поэтому необходимо выяснить являются ли функции линейно независимыми. Для этого вычислим вронскиан (5.4):

.

Этот определитель равен нулю, так как элементы 1-й и 3-й строк одинаковы. Следовательно, функции являются линейно зависимыми, а поэтому они не могут составлять фундаментальную систем. Таким образом, составить общее решение по этим частным решениям нельзя. ▲

Фундаментальная система решений однородного уравнения (5.1) называется нормированной в точке х = х0, если эти решения удовлетворяют соответственно следующим начальным условиям:



при х = х0.

Если найдена фундаментальная система решений однородного уравнения (5.1), то формула

, (5.5)

где - произвольные постоянные, дает общее решение этого уравнения в области

a < x < b, < +¥, < +¥, …, < +¥.

Все решения уравнения (5.1) содержаться в формуле (5.5).

Рассмотрим метод нахождения общего решения уравнения (5.1), который предложил Эйлер. Суть его заключается в том, что частное решение уравнения (5.1) ищется в виде

, (5.6)

где l - некоторое вещественное или комплексное постоянное число, подлежащее определению.

Найдя производные решения (5.6)

,

и подставляя их, а также функцию (5.6) в уравнение (5.1), будем иметь

, (5.7)

т.к. экспонента - никогда неравна нулю, то поделив это уравнение на , получим алгебраическое уравнение вида

, (5.8)

которое называется характеристическим уравнением, а его корни – характеристическими числами уравнения (5.8).

Структура фундаментальной системы решений , а также общего решения уравнения (5.1) зависит от вида корней характеристического уравнения (5.8).

Рассмотрим правила построения фундаментальной системы, общего решения однородного уравнения.

Правило 1. Если все корни характеристического уравнения (5.8) действительные и различные числа, то есть , то соответствующее им частные решения

образуют фундаментальную систему, следовательно, общее решение уравнения (5.1) в этом случае имеет вид:



, (5.9)

где - произвольные постоянные.

Правило 2. Среди корней характеристического уравнения (5.8) имеются комплексно-сопряженные, то есть .

Соответствующее корню решение принимает мнимую форму:

.

Чтобы освободиться от мнимой формы, преобразуем это решение по формуле Эйлера:

.

Отсюда выделяем действительные части, получаем два линейно независимых частных решения уже в вещественной форме:

и . (5.10)

Теперь рассмотрим решение соответствующее корню :

.

Освободимся от мнимой формы, преобразуем это решение по формуле Эйлера:

.

Отсюда выделяем действительные части, получаем два линейно независимых частных решения уже в вещественной форме:

и . (5.11)

Анализируя полученные решения (5.10) и (5.11) приходи к выводу, что решения (5.10) являются линейно зависимыми с решениями (5.11), поскольку их отношения и , и поэтому решения и не могут входить в фундаментальную систему решений.

Таким образом, фундаментальная система решений будет состоять из частных решений (5.10), а компонента общего решения уравнения (5.1) соответствующая корням будет иметь вид

. (5.12)

Если корни характеристического уравнения исключительно мнимые: , то соответствующими независимыми частными решениями будут решения вида

.

Следовательно, корням в формуле общего решения уравнения (5.1) соответствует выражение вида

, (5.13)

где - произвольные постоянные.

Правило 3. Среди корней характеристического уравнения имеются кратные.

3.1. Пусть среди корней характеристического уравнения есть действительные кратные корни , то корню l* кратности k соответствуют k линейно независимых частных решения

,

а соответствующая компонента общего решения уравнения (5.1) имеет вид:

, (5.14)

где - произвольные постоянные.

3.2. Пусть среди корней характеристического уравнения есть комплексный корень кратности k, а это значит, что есть также и сопряженный ему корень той же кратности. В этом случае паре корней соответствуют 2k линейно независимых частных решения:

Следовательно, соответствующая компонента общего решения уравнения (5.1) имеет вид:

, (5.15)

где и - произвольные постоянные.







Сейчас читают про: