Виды дифференциальных уравнений первого порядка

1). Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными имеет вид .

Пример1. Решить уравнение .

Решение. Разделим переменные, для чего члены уравнения поделим на ху: , . Интегрируя почленно обе части уравнения, имеем , откуда ,, , , . Это общее решение данного дифференциального уравнения.

2). Однородные дифференциальные уравнения.

Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если его можно представить в виде , где - однородные функции одинакового измерения.

Пример 2. Найти частное решение уравнения , если при .

Решение. Записав данное уравнение в виде ; легко можно убедиться в том, что оно однородно. Положим у = zx, откуда dy = z dx + х dz. Подставляем значения у и dy в последнее уравнение: ; ; ; ; ; ; Интегрируя, получаем откуда ; ; ; ; ;

Подставив в найденное общее решение начальные условия, найдем ;

Итак, искомое частное решение будет ; ; или

3) Линейные дифференциальные уравнения.

Линейными дифференциальными уравнениями называютсятакие уравнения, которые содержат неизвестную функцию и ее производную только в первой степени:

или . Если , то уравнение называется линейным уравнением без правой части.Для решения линейных уравнений пользуются подстановкой , где и и v — некоторые функции от х. Иначе говоря, разлагают у на два сомножителя. Следует иметь в виду, что эта операция не вполне определенная. Например, если , то эту функцию можно разложить на множители бесчисленным множеством иных способов: и т.д. Поэтому, полагая один из сомножителей можно выбрать произвольно.

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Здесь , — уравнение линейное.

1)Полагаем , тогда . Заменяя и их значениями, получим: . Вынося во втором и третьем слагаемом и за скобки, найденное уравнение перепишем так: (1)

2)Выберем v так, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль. Это справедливо, так как сомножитель в равенстве берем произвольно. Тогда получим: или

Разделим переменные: , Или .Произвольную постоянную С можно не писать (в данном случаеберем постоянную, равную 0): , ,

3)Теперь уравнение (1) примет вид , ,

, , , . Здесь С писать обязательно, иначе получится решение не общее а частное.

4).Теперь найдем искомую функцию, помня, что , а и : ,

Дифференциальные уравнения II порядка.

Определение. Уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию, ее первую производную, а тек же вторую производную от искомой функции, называется дифференциальным уравнением второго порядка.

В общем случае дифференциальное уравнение второго порядка можно записать в виде F (х, у, у',y") = 0, где у= у(х) -искомая функция.

Одним из представителей дифференциальных уравнений второго порядка является линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Уравнение вида (1), где - действительные числа , называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Чтобы решить уравнение (1), нужно решить характеристическое уравнение (2)

При решении характеристического уравнения (2) возможны три случая, в зависимости от которых строится общее решение данного дифференциального уравнения (1):

Корни уравнения(2)	Частные решения уравнения (1)	Общее решение уравнения (1)
Действительные и различные:
Равные:
Комплексно-сопряженные:

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид . Его корни . Так как корни действительные и различные, то общее решение записывается в виде .

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Характеристическое уравнение имеет равные корни . Следовательно, общее решение данного уравнения таково: .

Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Характеристическое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни: . Таким образом, общее решение уравнения записывается в виде

Пример 4. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям ,

Решение. Общее решение уравнения записывается в виде

Найдем частное решение, которое удовлетворяет заданным начальным условиям. Из первого условия следует, что , , откуда . Учитывая, что , и используя второе начальное условие, находим , . Следовательно, искомое частное решение имеет вид ,