Значащие цифры и число верных знаков

Известно, что любое положительное число A может быть представлено в виде конечной или бесконечной десятичной дроби

A = a_m 10^m + a_m-1 10^m-1 + … + a_m-n+1 10^m-n+1 + …,

где a_i – цифры числа A, причем старшая цифра a_m≠0, а m – некоторое целое число (старший десятичный разряд). Например:

3141,59…= 3∙10³ +1∙10² +4 10¹ +1∙10⁰+ 5∙10^-1+9∙10^-2+…

На практике преимущественно приходится иметь дело с приближенными числами, представляющими собой конечные десятичные дроби. Значащими цифрами числа называются все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева. Например, в числе 0,002080 первые три нуля не являются значащими цифрами, остальные четыре цифры, включая два нуля, будут значащими. В числе 0,00208 значащими цифрами будут три последних цифры.

Значащую цифру приближенного числа называют верной, если абсолютная погрешность этого числа не превосходит единицы разряда, соответствующего этой цифре. Например, для точного числа A =412,3567 число a*= 412,356 является приближением с шестью верными знаками, так как D(a*)= 0,0007< 1∙10^-3.

Таким образом, точность приближенного числа зависит не от количества значащих цифр, а от количества верных значащих цифр. Не всегда верные цифры в приближенном числе будут совпадать с соответствующими цифрами точного числа. Например, приближенное число a* = 9,995, заменяющее точное A =10, имеет три верных знака, причем все цифры этих чисел различны.