Параболический сплайн

Параболические сплайны представляются в виде полинома второй степени: S_i (x) =a_i+ (x-x_i) b_i+ (x-x_i)² c_i с граничными условиями: b₁=A₁ либо b_n=A_n, где A₁ - значение первой производной в точке x=x₁; A_n - значение первой производной в точке x=x_n.

S_i(x) S_i+1(x)

x_i x_i+1 x_i+2

Для определения коэффициентов сплайна a_i, b_i, c_i используются условия:

S_i(x_i)=f(x_i) i=1,…,n;

S_i (x_i+1) =S_i+1 (x_i+1) =f (x_i+1)

и условие непрерывности первой производной

(x_i+1) = (x_i+1).

Из граничных условий находим:

a_i=y_i, i=1,…,n;

c_i= (i=1,…, n-1).

Коэффициенты b_i вычисляются по одной из следующих рекуррентных формул:

при b₁=A₁; b_i+1 = z_i - b_i ; i = 1, …, n-1;

при b_n=A_n; b_n-i = z_n-i - b_n-i+1 ; i=1,…,n-1;

z_i=2(y_i+1 - y_i) / h_i, h_i=x_i+1-x_i.