Пусть для функции y=f (x)требуется вычислить интеграл J(f) = .
Выбрав шаг h= , разобьем отрезок [ a, b ] на n равных частей: x0=a, xi=x0+ih (i=1, 2,…, n-1), xn=b и пусть yi=f (xi)(i=0, 1, 2, …, n), p(x) = 1.
Построим, например, полином Лагранжа:
f (x)≈ L n (x) = +R n (x).
Заменяя функцию f(x) соответствующим интерполяционным полиномом, получим квадратурную формулу
,
где Ai - некоторые постоянные коэффициенты, не зависящие от функции f (x), а зависящие лишь от расположения узлов сетки xi.
Для формулы трапеции (n =1) p(x)=1, A0=A1=1/2.
= (y0+y1).
Остаточный член формулы трапеции равен:
R= - (y0+y1) = ,
где ξ (x0, x0+h).
Обобщенная формула трапеции для вычисления определенного интеграла на равномерной сетке, запишется так:
,
где R (h) = , М2= .
Формула Симпсона при n =2 и p(x)=1. Интерполирование функции выполняется по трем ее значениям. A0=1/6, A1=2/3, A2=1/6 или, так как x2-x0=2h,
(y0+4y1+y2).
Остаточный член формулы Симпсона равен
R= - (y0+4y1+y2) = ,
где ξ (x0,x2).
Обобщенная формула Симпсона для вычисления определенного интеграла на равномерной сетке и четного числа шагов, имеет вид:
,
где R (h) = , М4= .
Приведем формулу «трех восьмых» для вычисления определенного интеграла на равномерной сетке и числа шагов, кратного трем:
,
где R (h) = , М4= .
Задание. Вывести обобщенную формулу трапеции , заменив подынтегральную функцию f (x)линейным интерполяционным многочленом
f (x) =yi+ (yi+1-yi)
на каждом отрезке [ xi, xi+1 ] (i=0, 1,…, n-1), а формулу Симпсона получить, заменив подынтегральную функцию f (x)квадратичным интерполяционным многочленом
f (x) =yi+ (yi+1-yi)
на каждом отрезке [ xi, xi+2 ] (i=0, 2, 4,…, n-2).
Самостоятельно получить формулы прямоугольника из вида площади на графике (рис.3.3). Вывести отдельно левую, правую и центральную формулы и их погрешности.