Пусть известно приближение на k -м шаге xk= . Выпишем разложение функции fi (x1, x2, …, xn) по формуле Тейлора в точке xk до второго порядка:
Тогда система (7.1) заменится системой уравнений:
i=1, 2, …, n, ( 7.4)
линейной относительно приращений xj-xjk, j =1,2,…n. Решение x= (x1, x2,…, xn) T системы (7.3) примем за следующее итерационное приближение и обозначим xk+1 = .
Таким образом, итерационный метод Ньютона для системы (7.1) определяется системой уравнений:
i=1, 2, …, n, (7.5)
из которой последовательно, начиная с заданного x0= (x10, x20, …, xn0) T, находятся векторы xk, k =1,2,….. Систему (7.4) можно записать в векторном виде:
k=1, 2, …,
где x0 - заданный вектор, F΄ (x) - матрица Якоби.
(7.6)
Если обозначить zk=xk+ 1- xk и если (F΄ (xk))-1 существует, то, решив систему линейных алгебраических уравнений:
F΄ (xk) zk = - F (xk),
(k+1) -е приближение найдем из формулы
xk+1=zk + xk.
Условие остановки итерационного процесса можно взять в виде
или .