Определения

Система нелинейных уравнений представляется в следующем виде:

( 7.1)

где f_i (i=1, 2,…, n) - функции вещественных переменных x₁, x₂, …, x_n. Обозначим упорядоченную совокупность n чисел x = (x₁, x₂, …, x_n) ^TÎH и F(x) = (f (x₁),f(x₂), …, f(x_n)) ^T. Тогда система уравнений(7.1) в некотором линейном пространстве H размерности n запишется в операторном виде: F(x)= 0, где F:H® H нелинейное отображение. Такие системы решают итерационными методами.

Многие одношаговые итерационные методы для решения системы F(x)= 0 можно записать в канонической форме:

. (7.2)

где k - номер итерации x^k = (x^k₁, x^k₂, …, x^k_n) ^T, t_k+1 - числовой параметр, - матрица n x n, имеющая обратную матрицу.

Метод (7.2) называется явным, если B_k+1 = E для всех k, и неявным в противном случае.