I. Основные законы взаимодействия тел

I.1. Импульс тела. Импульс силы. Второй закон Ньютона.

Тела могут действовать друг на друга с некоторыми силами, которые сообщают этим телам ускорения. Количественно связь между силой и ускорением определяется вторым законом Ньютона:

. (1)

Согласно закону, ускорение, с которым движется тело, прямо пропорционально векторной сумме всех действующих на него сил и обратно пропорционально массе тела. Учитывая, что , уравнение (1) можно записать в виде:

или (2)

.

Произведение массы тела на его скорость называют импульсом тела:

, (3)

а произведение силы на время ее действия – импульсом силы. Поэтому второй закон Ньютона можно сформулировать и так: изменение импульса тела определяется суммарным импульсом всех действующих на него сил.

. (4)

I.2. Работа и энергия.

При взаимодействии тел происходит не только изменение их скоростей, ускорений и других кинематических и динамических характеристик движения, но также одна форма движения (например, механическая) может превращаться в другие: электрическую, химическую, тепловую, световую и т. д. Следовательно, существует потребность в единой количественной мере различных видов движения. Эту меру называют энергией. При превращении одного вида энергии в другой совершается работа.

. (5)

Когда говорят о работе, то имеют в виду работу, выполненную над телом некоторой силой. Опыт показывает, что работа, совершаемая силой , пропорциональна величине силы, перемещению тела , а также зависит от угла α между силой и перемещением, т. е. элементарная работа равна скалярному произведению силы на перемещение:

. (6)

Согласно (6), работа может быть положительной, отрицательной, а также равной нулю. При этом положительной работе соответствует прирост данного вида энергии, а отрицательной – ее убыль. В формулу (6) можно подставить любую силу, работу которой необходимо подсчитать. Согласно (5), каждая из этих работ будет мерой изменения одного из видов энергии.

В механике различают кинетическую, W_К, потенциальную W_П и механическую энергии: W=W_К+W_П.

I.3. Система тел. Основные свойства системы тел.

Совокупность взаимодействующих между собой тел называют системой тел. Понятие «система тел» неоднозначно, поэтому при оценке свойств системы состав ее тел должен быть назван. Все силы, действующие на тела системы, делят на внешние и внутренние.

Внутренними называют силы взаимодействия между телами системы, внешними – силы взаимодействия тел системы с телами, не принадлежащими к ней. Если на тела системы не действуют внешние силы, то ее называют изолированной или замкнутой. Внутренние силы могут быть потенциальными и непотенциальными или диссипативными.

Потенциальными силами называют такие, работа которых не зависит от формы пути. В механике к потенциальным силам относится сила тяжести и упругая сила. Диссипативными силами называют такие, работа которых зависит от формы пути. В механике к ним относится сила трения и силы, возникающие при неупругих взаимодействиях. Если все внутренние силы системы потенциальны, то ее называют потенциальной или консервативной.

I.4. Основные характеристики удара.

Ударом называется изменение состояния движения тела вследствие кратковременного взаимодействия его с другим телом. Линия удара это нормаль к плоскости касания соударяющихся тел, проведенная через точку удара. Если она проходит через центры тяжести соударяющихся тел, то удар называют центральным, в противном случае – нецентральным. Если скорости соударяющихся тел направлены вдоль линии удара, то его называют прямым, в противном случае непрямым или косым. Промежуток времени, в течение которого длится удар, обычно достаточно мал, а развивающиеся на площадках контакта соударяющихся тел силы (ударные силы) очень велики. Во время удара оба тела претерпевают изменения формы (деформацию).

Сущность упругого удара заключается в том, что кинетическая энергия относительного движения соударяющихся тел за короткое время преобразуется в энергию упругой деформации и в той или иной степени в энергию упругой деформации и в той или иной степени в энергию молекулярного движения. В процессе удара происходит перераспределение энергии между соударяющимися телами.

Процесс удара, начинающийся с момента соприкосновения соударяющихся поверхностей, можно разделить на две фазы. В течение первой фазы происходит сближение соударяющихся тел. При этом кинетическая энергия системы уменьшается, а относительная скорость убывает до нуля. Вслед за этим наступает вторая фаза удара: тела начинают удаляться друг от друга, частично или полностью восстанавливая свою форму, а кинетическая энергия и относительная скорость их возрастает. Когда площадь поверхности соприкосновения тел обращается в нуль, тела прекращают контакт, процесс удара заканчивается.

При абсолютно упругом ударе уравнение энергетического баланса имеет вид:

.

При абсолютно неупругом ударе:

,

где ΔU – изменение внутренней энергии тел системы.

Наблюдения показывают, что относительная скорость тел после удара не достигает своего прежнего численного значения. Это объясняется тем, что на практике мы никогда не имеем дело с идеально упругими деформациями тел.

Пусть на плоскую поверхность массивной пластины падает шар с некоторой скоростью и отскакивает от нее со скоростью (см. рис. 1).

Обозначим V_n1, V_τ1, V_n2, V_τ2 – нормальные и тангенциальные составляющие скоростей и , а β₁ и β₂ – составляющие скоростей падения и отражения и их касательные составляющие были бы равны V_n1=V_n2; V_τ1=V_τ2. Это означало бы, что скорость шара до удара равна его скорости после удара V₁=V₂, а также угол падения равен углу отражения β₁=β₂. В условиях реального удара всегда происходит частичная потеря механической энергии, вследствие чего как нормальные, так и тангенциальные составляющие скорости после удара уменьшаются V_n2<V_n1; V_τ2<V_τ1. Отношение числового значения нормальной составляющей относительной скорости после удара к ее величине до удара есть физическая характеристика, зависящая от природы сталкивающихся тел,

. (7)

Эту характеристику ε называют коэффициентом восстановления. Числовое значение его лежит между 0 и 1.

ε=0 указывает на то, что взаимодействующие тела абсолютно неупруги, восстановление формы их после удара не происходит, и оба тела движутся в дальнейшем как одно целое. При этом оказывается, что часть механической энергии израсходована на работу деформации и превращена во внутреннюю энергию тел.

Если ε=1, то взаимодействующие тела называются абсолютно упругими. В этом случае изменение формы тел, происходящее в начале удара, полностью устраняется при его завершении. Механическая энергия системы взаимодействующих тел сохраняется. В действительности для всех тел коэффициент восстановления имеет значение 0<ε<1.