Дифференцирование сложных функций

Дифференцирование сложных и неявных функций

Пусть задана функция двух переменных:

и пусть переменные и сами являются непрерывными функциями независимых переменных и :

, . (*)

Таким образом,

т.е. является сложной функцией переменных и . Выясним, как найти ее частные производные по аргументам и , не делая непосредственной подстановки. При этом будем предполагать, что все рассматриваемые функции имеют непрерывные частные производные по всем своим аргументам.

Сначала найдем производную . Для этого дадим аргументу приращение , сохраняя значение неизменным. Тогда в силу уравнений (*) получат приращения и .

Но если и получают приращения и , то функция получит приращение , определяемое формулой (см. §3):

Разделим обе части последнего равенства на :

Если , то и (в силу непрерывности функций и ). Но тогда и тоже стремятся к нулю. Переходя к пределу при , получим

, , ,

и, следовательно,

. (1)

Аналогично находим производную по переменной :

. (2)

Вывод. Частная производная сложной функции равна сумме произведений частных производных заданной функции по промежуточным аргументам ( и ) на частные производные этих аргументов ( и ) по соответствующей независимой переменной ( и ).

Пример 1. Найти частные производные сложной функции , где , .

Решение.

Находим сначала частные производные данных функций:

, ,

, , , .

По формулам (1) и (2) находим производные от сложной функции:

;

В полученные выражения для производных вместо и можно подставить их выражения через и .

Тогда окончательно получим:

;

Частные случаи.

1. Пусть и . Тогда функция является фактически функцией одной переменной , следовательно, можно ставить вопрос о нахождении обычной производной . Эту производную можно найти по формуле (5.1), заменяя в ней частные производные по на обычные.

Таким образом, получим:

. (3)

Пример 2. Найти производную для функции , где и .

Решение.

Учитывая, что функция фактически является сложной функцией одной переменной , то для нахождения ее производной по этой переменной необходимо использовать формулу, аналогичную формуле (5.3).

Имеем:

Теперь найдем все производные, входящие в правую часть полученной формулы:

, , , .

Следовательно, имеем:

Выразив и через , окончательно получим

2. Пусть задана функция , причем является независимой переменной, а – функцией от , т.е. . Следовательно, функция является сложной функцией переменной : эта переменная является ее первым аргументом, а также входит как независимая переменная во второй аргумент . Тогда согласно формуле (5.3) будем иметь

, (4)

так как .

Эта формула есть формула для вычисления полной производной (в отличие от частной производной ).

Необходимо обратить внимание на различие между двумя производными по , содержащимися в формуле (4). В то время как есть полная производная, т.е. обыкновенная производная от по аргументу , есть частная производная от по аргументу , входящему в выражение функции непосредственно, значит, при условии, что аргумент , хотя он и зависит от , при дифференцировании остается постоянным.

Пример 3. Найти и , если , где .

Решение.

Полная производная вычисляется по формуле (4):

Поскольку , то , и окончательно получаем:

Замечание 1. Сформулированное выше правило дифференцирования сложной функции остается справедливым для функций любого числа независимых переменных и при всяком числе промежуточных аргументов.

Пусть задана как функция аргументов , т.е. , которые являются функциями независимых переменных . Тогда