2015-07-14
9365
Дифференцирование сложных и неявных функций
Пусть задана функция двух переменных:
и пусть переменные 
и 
сами являются непрерывными функциями независимых переменных 
и 
:
, 
. (*)
Таким образом,
,
т.е. 
является сложной функцией переменных и . Выясним, как найти ее частные производные по аргументам и , не делая непосредственной подстановки. При этом будем предполагать, что все рассматриваемые функции имеют непрерывные частные производные по всем своим аргументам.
Сначала найдем производную 
. Для этого дадим аргументу приращение 
, сохраняя значение неизменным. Тогда в силу уравнений (*) получат приращения 
и 
.
Но если и получают приращения и , то функция получит приращение 
, определяемое формулой (см. §3):
.
Разделим обе части последнего равенства на :
.
Если 
, то 
и 
(в силу непрерывности функций и ). Но тогда 
и 
тоже стремятся к нулю. Переходя к пределу при , получим
, 
, 
,
и, следовательно,
. (1)
Аналогично находим производную по переменной :
. (2)
Вывод. Частная производная сложной функции равна сумме произведений частных производных заданной функции по промежуточным аргументам ( и ) на частные производные этих аргументов ( и ) по соответствующей независимой переменной ( и ).
Пример 1. Найти частные производные сложной функции 
, где 
, 
.
Решение.
Находим сначала частные производные данных функций:
, 
,
, 
, 
, 
.
По формулам (1) и (2) находим производные от сложной функции:
;
В полученные выражения для производных вместо и можно подставить их выражения через и .
Тогда окончательно получим:
;
.
Частные случаи.
1. Пусть 
и 
. Тогда функция является фактически функцией одной переменной , следовательно, можно ставить вопрос о нахождении обычной производной 
. Эту производную можно найти по формуле (5.1), заменяя в ней частные производные по на обычные.
Таким образом, получим:
. (3)
Пример 2. Найти производную 
для функции 
, где 
и 
.
Решение.
Учитывая, что функция фактически является сложной функцией одной переменной 
, то для нахождения ее производной по этой переменной необходимо использовать формулу, аналогичную формуле (5.3).
Имеем:
.
Теперь найдем все производные, входящие в правую часть полученной формулы:
, 
, 
, 
.
Следовательно, имеем:
.
Выразив и через , окончательно получим
.
2. Пусть задана функция 
, причем является независимой переменной, а – функцией от , т.е. 
. Следовательно, функция является сложной функцией переменной : эта переменная является ее первым аргументом, а также входит как независимая переменная во второй аргумент . Тогда согласно формуле (5.3) будем иметь
, (4)
так как 
.
Эта формула есть формула для вычисления полной производной (в отличие от частной производной 
).
Необходимо обратить внимание на различие между двумя производными по , содержащимися в формуле (4). В то время как есть полная производная, т.е. обыкновенная производная от по аргументу , есть частная производная от по аргументу , входящему в выражение функции непосредственно, значит, при условии, что аргумент , хотя он и зависит от , при дифференцировании остается постоянным.
Пример 3. Найти и , если 
, где 
.
Решение.
.
Полная производная вычисляется по формуле (4):
.
Поскольку , то 
, и окончательно получаем:
.
Замечание 1. Сформулированное выше правило дифференцирования сложной функции остается справедливым для функций любого числа независимых переменных и при всяком числе промежуточных аргументов.
Пусть задана как функция аргументов 
, т.е. 
, которые являются функциями независимых переменных 
. Тогда
, (5)
где 
.
