б) Неявная функция двух и более переменных

Пусть дано уравнение

,

связывающее значения трех переменных , и . Рассмотрим множество тех пар чисел , для которых значения , обращающие совместно с , то уравнение в тождество.

Подставив каждой паре чисел из этого множества в соответствие те значения , для которых , получим однозначную или многозначную функцию двух переменных

.

Функцию будем называть неявно заданной уравнением , или просто неявной функцией двух переменных.

Найдем частные производные и неявной функции , определяемой уравнением .

Когда ищем , то считаем аргумент постоянным. Поэтому здесь применима формула (5.6), если только независимой переменной считать , а функцией . Следовательно,

. (7)

Аналогично находим производную :

. (8)

Обе формулы найдены в предположении, что .

Пример 5. Найти частные производные функции , заданной неявно уравнением .

Решение.

В данном случае , поэтому имеем

, , .

Следовательно, по формулам (7) и (8) находим

, .

В общем случае, когда уравнение

Определяет как некоторую функцию от , аналогично предыдущему найдем

, (9)

где .