А) Неявная функция одной переменной

Пусть гладкая функция неявно определяется из уравнения

, (**)

где – некоторая функция от двух переменных. Это значит, что если в (**) вместо подставить , то получим тождество

. (***)

Для общего уравнения (**) поставим задачу найти производную , не разрешая его относительно .

Предположим, что существуют непрерывные частные производные , и рассмотрим тождество (***). Левую часть этого тождества можно рассматривать как сложную функцию, зависящую от и непосредственно, и через второй аргумент. Причем из (***) следует, что эта функция тождественно равна нулю. Следовательно, и производная от нее по должна быть равна нулю. Находя производную по формуле (4), получим

,

откуда, если , имеем

. (6)

Пример 4. Найти , если функция задана неявно уравнением .

Решение.

Здесь . Найдем частные производные этой функции:

, .

Следовательно, используя формулу (5.6), получаем:

.