Метод неопределенных множителей Лагранжа

Метод применяется в тех случаях, когда на оптимизируемый процесс накладывается несколько () ограничений в виде

, (5.15)

где число параметров, входящих в функции ограничений – числа параметров, входящих в функцию оптимизации (5.2). В методе Лагранжа формируется Функция Лагранжа

, (5.16)

где – неопределенные множители Лагранжа (неизвестные числа); –целевая функция.

Не вдаваясь в теоретические основы метода, отметим, что если целевая функция при некоторых оптимальных значениях параметров Х стремится к экстремумы, то очевидно, что добавление к целевой функции нулевых по (5.15) функций ограничения не изменит значения критерия оптимальности и равной ему функции Лагранжа в экстремальной точке. Координаты экстремума находят из условия равенства нулю первых производных функции Лагранжа по параметрам процесса и неопределенным множителям :

…

…

, (5.17)

…

…

В качестве примера использования метода неопределенных множителей Лагранжа рассмотрим расчет оптимальных размеров слоя катализатора в реакторе термокаталитической очистки отходящих газов от примесей углеводородов [19].

Очистка горячих отходящих газов от примесей углеводородов выполняется в реакторе с насыпным слоем катализатора, обеспечивающим окисление углеводородов до диоксида углерода и воды:

,

где n и m – соответственно число атомов углерода (С) и водорода (Н) в углеводороде.

Размеры слоя катализатора (высота слоя Н и диаметр слоя ) в контактном узле реактора зависят от необходимой степени очистки газа от примесей х₀ и заданного расхода очищаемого газа и ограничиваются допустимой величиной перепада давления газа в реакторе, поскольку, как правило, отработавший газ, поступающий на очистку и затем сбрасываемый в атмосферу, имеет незначительное избыточное давление.

Размеры слоя катализатора будем определять исходя из минимизации критерия оптимальности как суммы капитальных (З_К) и эксплуатационных (З_Э) затрат на осуществление термокаталитической очистки в контактном узле на основе известных кинетических данных по реализации процесса при заданной температуре окисления , тогда целевая функция имеет вид

З_К + З_Э = . (5.13)

Капитальные затраты З_К учитываются в форме амортизационных отчислений через приведенные капитальные затраты на изготовление контактного узла и загруженный катализатор:

З_К = , (5.14)

где с_К – суммарные приведенные капитальные затраты на изготовление контактного узла и стоимость загруженного в него катализатора, отнесенные к одному погонному метру периметра катализаторного слоя диаметром , руб./м;

– плановый срок службы контактного узла, годы (срок службы катализатора с учетом его регенерации приравнен к сроку службы металлоконструкций контактного узла).

Эксплуатационные затраты З_Э определяются стоимостью компенсации потерь напора в слое катализатора:

З_Э = , (5.15)

где с_П – условная стоимость перекачки 1 м³ неочищенного газа при перепаде давления 1 н/м², руб./(м*н);

– усредненный годовой планируемый расход неочищенного газа, м³/год;

Н – толщина слоя катализатора, м;

– скорость потока очищаемого газа в расчете на нормальное сечение катализаторного узла, м/с;

– перепад давления в слое катализатора высотой 1 м при скорости потока 1 м/с, н*с/м⁴.

Допуская относительно низкую скорость газа в слое катализатора, величину находим по первому слагаемому уравнения Эргуна:

, (5.16)

где – порозность слоя катализатора;

– динамическая вязкость газа при температуре процесса, Па*с.

С учетом уравнений (5.14) – (5.15) целевая функция примет вид

+ = . (5.17)

На процесс термокаталитической очистки газов необходимо в соответствии с постановкой задачи наложить как минимум два ограничения:

– реактор должен обеспечивать очистку заданного расхода газа (удобнее в данном случае рассматривать не годовой расход газа , а секундный расход газа );

– в реакторе должна достигаться заданная степень очистки газа х₀.

Функции ограничения, включающие параметры ограничения и параметры оптимизации размеров слоя и Н, имеют в общем случае вид

(5.18)

и

(5.19)

и включают оба параметра оптимизации или один из них.

Функцию ограничения можно разработать на основе математической модели, описывающей катализаторный (контактный) узел реактора, если рассмотреть упрощенно реакцию окисления углеводородов при избытке кислорода как , где А – окисляемые примеси, В – продукты реакции, К – константа скорости реакции. Порядок реакции можно принять как первый.

Гидродинамику контактного узла можно принять эквивалентной модели идеального вытеснения, поскольку при малом времени контакта (менее секунды) диффузионными явлениям при переносе реакционной смеси через слой катализатора можно пренебречь.

Математическая модель контактного узла реактора по окисляемым углеводородам для стационарных условий процесса будет иметь вид

, (5.20)

где С – концентрация углеводородов в реакционной зоне.

После интегрирования уравнения (5.20)

, (5.21)

где С₀ – начальная концентрация углеводородов в очищаемом газе;

С_К – конечная концентрация углеводородов после очистки,

получим

(5.22)

или

, (5.23)

тогда первая функция ограничения может быть записана в форме

=0, (5.24)

обеспечивающей достижение заданной степени очистки газа х₀.

Вторая функция ограничения формируется как

., (5.25)

обеспечивая заданную производительность реактора

Сформируем функцию Лагранжа :

=

= + + [ ]+

+ [ ]= , (5.26)

где и неопределенные множители Лагранжа

Решение задачи ищем поиском экстремума (3.28) по всем переменным:

. (5.27)

Система нелинейных уравнений (5.27) может быть решена на ЭВМ методом итераций с определением оптимальных значений диаметра и высоты слоя катализатора Н в реакторе, остальные размеры аппарата определяются конструктивно.