Пусть обратимая изотермическая реакция первого порядка

А В

протекает в газовой фазе в аппарате с псевдоожиженным слоем катализатора. В ходе процесса происходит постепенное истирание катализатора и его унос в виде пыли с продуктами реакции. Найти оптимальные значения температуры процесса Т_опт и продолжительности пребывания реакционной смеси в зоне реакции t_опт, при которых минимизируются стоимость потерь катализатора и непрореагировавшего сырья[2].

В данной задаче в качестве критерия оптимальности R можно рассматривать сумму потерь катализатора и непрореагировавшего сырья; целевая функция может быть записана в этом случае в общем виде как

R = S_AuC_Aк + S_vV = u(S_A C_Aк + S_vt_p ) = min, (5.4)

где u - расход сырья, м³/с;

S_A – стоимость единицы объема исходного сырья, р/м³;

C_Aк – конечная концентрация компонента А в реакционной смеси, м³/м³;

S_v – стоимость потерь катализатора с единицы объема рабочей зоны реактора, р/м³×с;

V - объем рабочей зоны реактора (объем псевдоожиженного слоя), м³;

t_p – продолжительность реакции, с.

При заданных u, S_A и S_v для решения (5.4) необходимо знать величины C_Aк и t (или V), взаимосвязь которых формируется в математической модели процесса.

Математическая модель кинетики реакции по сырьевому компоненту А имеет вид

, (5.5)

К_i =

где К₁ и К₂ – константы скорости прямой и обратной реакций, с^-1;

– предэкспоненциальный множитель, с^-1;

Е_i – энергия активации, Дж/моль;

Т – абсолютная температура проведения реакции, К;

R – универсальная газовая постоянная;

– конечная концентрация компонента В в реакционной смеси, м³/м³.

Модель гидродинамики реактора с псевдоожиженным слоем катализатора соответствует требованиям идеального смешения и по компоненту А может быть записана как

(5.6)

где - начальная концентрация А в исходном сырье, м³/м³.

Полная математическая модель реактора по компоненту А имеет вид

. (5.7)

Полная модель реактора по компоненту В может быть записана в форме дифференциального уравнения аналогично (5.7), но проще ее в данной задаче использовать в форме алгебраического уравнения

, (5.8)

где – начальная концентрация компонентов В в исходном сырье (при отсутствии рециркуляции непрореагировавшего сырья обычно равна нулю).

Решая совместно (5.7) и (5.8) для стационарных условий реализации процесса (dC_A /dt=0) при = 0 при t = 0, получаем следующее уравнение математического описания реактора с псевдоожиженным слоем катализатора:

(5.9)

подстановка которого в (5.7) позволяет сформировать целевую функцию в окончательном виде:

= . (5.10)

В результате дифференцирования (5.10) по t_Р и Т получим систему уравнений, определяющих позицию экстремума целевой функции

, (5.11)

решение которой позволяет рассчитать Т=Т_опт и t= t_опт .

Нелинейную систему (5.11) можно решить на ЭВМ двумя способами:

– решением собственно нелинейной системы (5.11), например, методом простых или модифицированных итераций, приведя её к виду

, (5.12)

– преобразованием системы уравнений (5.11) в форму

, (5.13)

с получением уравнения с одной переменной Т

, (5.14)

позволяющим любым алгоритмом поиска корня (методами сканирования, хорд, касательных, половинного деления и др.) рассчитать на ЭВМ оптимальную температуру Т=Т_ОПТ, которая затем используется для расчета _ОПТ по любому уравнению системы (5.14).