Симплексный метод

Некоторым недостатком метода Бокса-Уилсона является выполнение «лишних» опытов, так как по матрице планирования выполняется для факторов вдвое большее число опытов, чем рассчитывается коэффициентов уравнения регрессии. Этот недостаток устраняется в симплексных планах, в которых число опытов равно +1. В симплексных планах опыты выполняются в точках, равноудаленных друг от друга (рис. 5. 12).

Рис. 5.12. Формирование симплексных планов при числе факторов , равных 1 – отрезок (а), 2 – равносторонний треугольник (б)

и 3 – равносторонний тетраэдр (в)

Симплексный метод оптимизации наиболее целесообразно применять при необходимости решения задачи с высокой точностью поиска оптимума. Решение задачи рассмотрим на примере определения оптимальных скоростей движения сплошнойи дисперсной фаз жидкости в процессе экстракции.

Для противоточных экстракционных колонн оптимальные скорости движения дисперсной (W_D) и сплошной (W_С)фаз связаны уравнением

(5.76)

где (5.77)

где W_ХАР = соnst – характеристическая скорость.

Требуется найти W_D и W_С при W_ХАР = 0,121.

В силу сложности функции (3.71) для решения задачи нецелесообразно использовать даже такой простой метод оптимизации, как метод Гаусса-Зейделя в сочетании с методом сканирования (нелинейное программирование), поскольку уже для двухмерной задачи объем расчетов будет достаточно велик: при исследовании области значений W_D и W_С в пределах 0 ¸0,1 м/с с точностью D = 0,0005 м/с необходимо выполнить 40000 расчетов функций (5.76) и (5.77).

Применим симплексный метод оптимизации на базе теории планирования эксперимента, при этом в точках симплексного плана будем выполнять расчетный эксперимент, рассчитывая критерий оптимальности R по (5.76) с учетом (5.77).

При решении задачи симплексным методом расчет выполняется по следующему алгоритму (иллюстрация метода приведена на рис. 5.13).

1. При исследовании процесса по К факторам Z₁, Z₂,…, Z_K в произвольной точке области исследования А разрабатывается матрица планирования для симплексов – пространственного К – мерного тела, состоящего из К + 1 точки (вершины), которые равноудалены друг от друга (при К = 2 симплекс – равносторонний треугольник).

2. Определив координаты вершин симплексов, в них выполняют физический или расчетный, как в данном случае, эксперимент, определяя таким образом К + 1 значение R_i в вершинах симплекса.

3. Сравнивая значения R_i между собой, определяют худшее (в нашем случае наибольшее) значение R_i и точку с худшим значением R_i отбрасывают.

4. Достраивают симплекс новой точкой, симметричной относительно отброшенной точки “поперек” грани симплекса, состоящей из оставшихся точек.

5. Во вновь построенной точке симплекса выполняют расчетный эксперимент и возвращаются на четвертый пункт алгоритма, выполняя таким образом перемещение к области экстремума (рис. 5.12). Подобный расчет выполняют до тех пор, пока симплекс не зациклится, т.е. как отбрасывание наихудшей точки (точка 10 на рис. 5.12) приводит к возвращению симплекса в позицию предыдущего расчета.

В этом случае расчет повторяют с первого пункта алгоритма, уменьшив размер симплекса за счет уменьшения шага варьирования DZ_J по каждому из параметров процесса в симплексной матрице планирования до тех пор, пока не получим DZ_J £ D, где D – погрешность расчета оптимальных параметров Z_{1 ОПТ} = W_{D ОПТ} и Z_{2 ОПТ} = W_{С ОПТ}, при которых R

стремится к min (в данной задаче R_min = 0).

Z₂

10 ● 14●

12● ●13

6● ● ● ●9

7 11

4● ● ●

5 8

2 ● ● 1

● A

3●

Z₁

Рис. 5.13. Схема движения к оптимуму (минимум) симплексным методом.

Для рассматриваемого примера Z₁ = W_D, Z₂ = W

(Пунктирные линии равного уровня проведены условно)

Математические основы решения задачи

Для построения координатсимплекса в кодированных переменных

Х_J (–1£ Х_J £+1) можно воспользоваться матрицей [ Х ] (табл. 5.3), в которой по строкам даныкодированные значения Х_iJ для i -й точки симплекса, а по столбцам – номера параметра J (матрица приведена для числа исследуемых параметров К = 6, тогда симплекс насчитывает 7 точек).

Таблица 5.3

Матрица кодированных переменных симплексного плана

	J =1	J =2	J =3	J =4	J =5	J =6
i =1	0,5	0,289	0,204	0,158	0,129	0,109
i =2	-0,5	0,289	0,204	0,158	0,129	0,109
i =3		-0,578	0,204	0,158	0,129	0,109
i =4			-0,612	0,158	0,129	0,109
i =5				-0,632	0,129	0,109
i =6					-0,645	0,109
i =7						-0,655

Для нашего эксперимента при К =2 и числа вершин симплекса N = К +1 = 3 выделяем часть матрицы [ Х ] при J =1,2, при i =1,2,3, то есть матрица кодированных значений Х_iJ примет вид

[ Х ] = (5.78)

В начальной произвольной точке расчета А, в качестве которой, например, можно принять центр области исследования с координатами (при 0£ Z_i £0,1)

м/с,

м/с,

Выбираем область планирования эксперимента с координатами центра плана и шагами интегрирования DZ_J = =0,02» D =0,0005 м/с. Тогда характеристика области исследования примет вид матрицы

	Z1	Z2
	0,05	0,05
ZJ	0,02	0,02

Согласно формуле кодирования для ортогональных матриц (симплексная матрица относится к ортогональным)

. (5.79)

Подставляя в (5.79) кодированные значения из матрицы (3.73,а), рассчитываем координаты трех вершин симплекса по уравнению

, (3.80)

например, для первой вершины симплекса 2 ● ● 1 по первому параметру (J =1)

3 ●

= 0,05 + (0,5) ·0,02 = 0,060,

по второму параметру

= 0,05 + (0,289) ·0,02 = 0,05578.

Аналогичным расчетом определяем для второй вершины симплекса

= 0,05 + (–0,5) ·0,02 = 0,040,

= 0,05 + (0,289) ·0,01 = 0,05578

и для третьей вершины

= 0,05 + (0) ·0,02 = 0,05,

= 0.05 + (-0,578) ·0,02 = 0,03844.

Результаты расчета координат Z_iJ первых трех точек анализа области исследования на оптимум и расчета R_i по (5.76) и (5..77) заносим в табл. 5.4.

В данном случае первая вершина – худшая, R₁ – наибольшее; отбрасывая первую вершину, строим её зеркальное отражение – четвертую точку, которая в совокупности с оставшимися второй и третьей вершинами дает новый (второй симплекс).

Для расчета координат новой вершины рассчитываем значения параметров Z₁ и Z₂ по уравнениям:

(8.81)

, (8.82)

с дополнительным условием U ¹ i,

где - координаты отброшенной точки.

В частности, для четвертой рассчитываемой вершины второго симплекса при отбрасывании первой вершины (U =1) первого симплекса получим

;

;

;

;

в четвертой точке с координатами и рассчитываем R₄, сравниваем значения R₂, R₃, R₄ для второго по ходу расчета симплекса и вновь определяем худшую вершину (в данном случае это вершина 2).

Данный алгоритм повторяем до зацикливания симплекса, то есть до тех пор, пока после исключения U^(N) –й вершины после выполнения N циклов расчета и перехода к U^(N+1) –й вершине следующего симплекса не окажется, что U^(N+1) –я вершина – самая неудачная, её надо исключать, но после исключения U^(N+1) –й вершины выполняется переход в точку с координатами U^(N) –й вершины предыдущего симплекса (табл. 5.4).

При зацикливании симплекса выбирают лучшую вершину последнего симплекса и вокруг нее, как центра нового плана, строится новый симплекс меньших размеров и повторяют алгоритм последовательного построения симплексов до очередного зацикливания симплексов.

Циклические операции выполняют до тех пор, пока при очередном уменьшении размеров симплекса при зацикливании решения задачи размеры симплекса по разности координат и по всем парам точек симплекса и не станут меньшими наперед заданной точности поиска координат экстремума.

Таблица 5.4.