Производные некоторых основных элементарных функций

1. y = xⁿ. Если n – целое положительное число, то, используя формулу бинома Ньютона:

(a + b)ⁿ = a ⁿ+ n·a ^n-1· b + 1/2∙ n(n – 1)a ^n-2∙ b ²+ 1/(2∙3)∙ n(n – 1)(n – 2)a^n-3b³+…+ bⁿ,

можно доказать, что

Итак, если x получает приращение Δ x, то f(x +Δ x) = (x + Δ x)ⁿ, и, следовательно,

Δ y =(x +Δ x) ⁿ – xⁿ = n·x^n-1 ·Δ x + 1/2·n·(n– 1 )·x^n-2 ·Δ x² +…+Δ xⁿ.

Заметим, что в каждом из пропущенных слагаемых есть множитель Δ x в степени выше 3.

Найдем предел

Мы доказали эту формулу для n Î N. Далее увидим, что она справедлива и при любом n Î R.

1. y = sin x. Вновь воспользуемся определением производной.

Так как, f(x +Δ x)= sin(x +Δ x), то

Таким образом,

1. Аналогично можно показать, что