Производные

Рассмотрим функцию y=f(x), заданную в окрестности точки х₀.

Если существует конечный предел

то он называется производной функции f в точке х₀.

Обозначение:

Разность

называется приращением аргумента, а

приращением функции. Таким образом, можно определить производную как

Геометрический смысл производной

Рассмотрим график функции у=f(x) и проведем секущую через точки А с абсциссой х₀ и В с абсциссой х₀+Dх. Если обозначить разность ординат

этих точек Dу, то тангенс угла a, образованного секущей с осью Ох, можно представить так:

Если точка В перемещается по кривой, приближаясь к точке А, и секущая при совпадении точек В и А превращается в касательную к графику функции, образующую с осью Ох угол a₀. При этом

Следовательно, значение производной при данном значении х равно тангенсу угла, образованного касательной к графику функции в точке с соответствующим значением х с положительным направлением оси Ох.

Механический смысл производной

Рассмотрим прямолинейное движение тела, для которого пройденное расстояние есть функция от времени: s=f(t). Среднюю скорость за время Δt можно определить по формуле:

Для определения мгновенной скорости тела в данный момент времени устремим Dt к нулю. Получим:

Таким образом, производная от расстояния в данный момент времени равна мгновенной скорости движения в этот момент. Соответственно производная любой функции при данном значении аргумента равна скорости изменения этой функции при рассматриваемом х.

Уравнение касательной к графику функции

Составим уравнение касательной к графику функции y = f(x) при х = х₀. Эта прямая должна проходить через точку с координатами (х₀,у₀), лежащую на графике функции, где у₀ = f(x₀), и иметь угловой коэффициент, равный производной f(x) при х = х₀. Воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом, получим: у = f`(x<sub>0</sub>)х + b, причем у<sub>0</sub> = f`(x₀)x₀ + b, то есть b = y₀ - f`(x₀)x₀. Тогда уравнение касательной можно записать в виде:

Дифференцируемость функции

Определение. Если приращение функции y = f(x) при х = х₀ можно представить в виде

где A = const, то y = f(x) называется дифференцируемой при х = х₀, а АDх называется главной линейной частью приращения или дифференциалом функции.

Обозначение: dy = АDх.

Замечание. Так как при у = х получаем dx = 1·Dx, можно обозначать Dх = dx.

Теорема 1. Функция дифференцируема в некоторой точке в том и только в том случае, если она имеет в этой точке производную.

Доказательство.

1) Если для y=f(x) существует

где b(Δх) – бесконечно малая при . Тогда

Следовательно, функция y = f(x) дифференцируема при х = х₀, причем А = f`(x₀).

2) Пусть y=f(x) дифференцируема при х=х₀, то есть ее приращение имеет вид

Тогда

.

Таким образом, f(x) имеет производную в точке х₀, равную А.

Следствие. Дифференциал функции можно представить в виде

а производную – в виде

Теорема 2. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство.

Из формулы

следует, что

что и означает непрерывность f(x) при х = х₀.

Замечание. Обратное утверждение неверно, то есть из непрерывности функции не следует ее дифференцируемость. Например, y = |x| непрерывна при х = 0, но не дифференцируема в этой точке.

Геометрический смысл дифференциала

Рассмотрим график функции y=f(x) и проведем касательную к нему при х=х₀. Тогда при приращении аргумента Δх приращение функции Δу

равно длине отрезка BD, а приращение ординаты касательной

равно длине отрезка CD. Следовательно, дифференциал функции равен приращению ординаты касательной.

Линеаризация функции

Так как истинное значение приращения функции отличается от ее дифференциала на бесконечно малую более высокого порядка, чем Dх, при приближенных вычислениях можно заменять Dу на dy, то есть считать, что

При этом функция f(x) для значений х, близких к х₀, приближенно заменяется линейной функцией. Эта операция называется линеаризацией функции.

Пример.

Найдем приближенное значение . Пусть

Тогда