Периодическая функция

Функция называется периодической, если существует такое число , что для любого из области определения этой функции также входят в её область определения и для всех из области определения .

В таком случае называется периодом функции .

Например, функция является периодической функцией с наименьшим положительным периодом . Функция является периодической функцией с наименьшим положительным периодом .

Рассмотрим теперь функцию Дирихле (по имени немецкого математика

П.Лежен-Дирихле (1805-1859))

Любое рациональное число является периодом этой функции. Действительно, если рациональное, то и числа рациональные. Если иррациональное, то и числа иррациональные. Следовательно и , и поэтому функция Дирихле периодическая. Однако среди положительных рациональных чисел не существует наименьшего, поэтому функция Дирихле имея бесконечное множество периодов, не имеет наименьшего положительного периода. Из определения периодической функции следует, что график этой функции будет повторять себя через промежуток длины , равной наименьшему положительному периоду, если ткой период существует.