Примеры

1) Найдем производную 3-го порядка от функции y=x ³-5 x ²+3 x+ 12.

2) Получим общую формулу для производной n -го порядка функции y=a^bx.

Свойства производных высших порядков

Основные свойства производных высших порядков следуют из соответствующих свойств первой производной:

1. (cf(x))⁽ⁿ⁾=c·f⁽ⁿ⁾(x).

2. (f(x)+g(x))⁽ⁿ⁾=f⁽ⁿ⁾(x)+g⁽ⁿ⁾(x).

3. Для y=x^m y⁽ⁿ⁾=n(n- 1 )…(n-m+ 1 )x^m-n. Если m – натуральное число, то при n>m y⁽ⁿ⁾=0.

4. Можно вывести так называемую формулу Лейбница, позволяющую найти производную n -го порядка от произведения функций f(x)g(x):

Заметим, что коэффициенты в этой формуле совпадают с соответствующими коэффициентами формулы бинома Ньютона, если заменить производные данного порядка той же степенью переменной. Для n =1 эта формула была получена при изучении первой производной, для производных высших порядков ее справедливость можно доказать с помощью метода математической индукции.

5. Получим формулу для второй производной функции, заданной параметрически. Пусть x = j(t), y = y(t), t₀ < t < T. Тогда

Следовательно,