Примеры

1. y=x ² имеет минимум при х =0.

Рис. 1

2. y=-|x- 3 | имеет максимум при х =3.

Рис. 2

3. у= sin x имеет минимумы при

и максимумы при

Теорема 1 (теорема Ферма). Если функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки х₀, принимает в этой точке наибольшее (наименьшее) в рассматриваемой окрестности значение и имеет в точке х₀ производную, то f’(x₀)= 0.

Доказательство.

Пусть f(x₀) – наибольшее значение функции, то есть для любой точки выбранной окрестности выполняется неравенство f(x) < f(x₀). Тогда, если x < x₀,

а если x > x₀,

Переходя к пределу в полученных неравенствах, находим, что из первого из них следует, что f’(x₀) > 0, а из второго – что f’(x₀) < 0. Следовательно,

f′(x₀) = 0.

Замечание. В теореме Ферма важно, что х₀ – внутренняя точка для данного промежутка. Например, функция y = x, рассматриваемая на отрезке [0;1], принимает наибольшее и наименьшее значения соответственно при х = 1 и х = 0, но ее производная в этих точках в ноль не обращается.

Теорема 2 (теорема Ролля). Если функция y = f(x)

1) непрерывна на отрезке [ ab ];

2) дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка;

3) принимает равные значения на концах этого отрезка, то есть f(a) = f(b),

то внутри интервала (ab) существует по крайней мере одна точка х = с, a < c < b, такая, что f’(c) = 0.

Рис. 3

Доказательство.

Пусть M и m – наибольшее и наименьшее значения f(x) на [ ab ]. Тогда, если m = M, то f(x) = m = M – постоянная функция, и f’(x)=0 для любой точки отрезка [ ab ]. Если же m<M, то по свойству функции, непрерывной на отрезке, хотя бы одно из значений m или M достигается во внутренней точке с отрезка [ ab ] (так как на концах отрезка функция принимает равные значения). Тогда по теореме Ферма f’(c) = 0.

Замечание 1. В теореме Ролля существенно выполнение всех трех условий. Приведем примеры функций, для каждой из которых не выполняется только одно из условий теоремы, и в результате не существует такой точки, в которой производная функции равна нулю.

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

Действительно, у функции, график которой изображен на рис. 4, f(0)=f( 1 )=0, но х =1 – точка разрыва, то есть не выполнено первое условие теоремы Ролля. Функция, график которой представлен на рис.5, не дифференцируема при х = 0, а для третьей функции f(- 1 ) не равно f( 1 ).

Замечание 2. Геометрический смысл теоремы Ролля: на графике рассматриваемой функции найдется по крайней мере одна точка, касательная в которой параллельна оси абсцисс.

Рис. 7