Решение

Проверим выполнение условий теоремы Ролля для каждой из функций:

не выполнено 3-е условие теоремы Ролля;

Эта функция не дифференцируема при х = 1, то есть не выполнено 2-е условие теоремы Ролля;

3) х = 0 – точка разрыва данной функции, то есть не выполнено 1-е условие теоремы Ролля;

функция y = ln cos x определена и непрерывна на заданном отрезке;

существует на всем отрезке;

Таким образом, все условия теоремы Ролля выполнены.

функция не является непрерывной в точке х = 1, не выполнено 1-е условие теоремы Ролля.

Ответ: 4.

1.2.4. Теоремы Лагранжа и Коши. Правило Лопиталя

Теорема 1 (теорема Лагранжа). Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [ ab ] и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то внутри отрезка [ ab ] найдется хотя бы одна точка c, a < c < b, что

f(b) - f(a) = f′(c) (b – a).

Доказательство.

Обозначим

и рассмотрим вспомогательную функцию F(x) = f(x) - f(a) - (x - a)Q. Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля: она непрерывна на [ ab ], дифференцируема на (ab) и F(a)=F(b)= 0. Следовательно, на интервале (ab) есть точка с, в которой F’(c)= 0. Но F’(x)=f’(x) – Q, то есть F’(c) = f’(c) – Q. Подставив в это равенство значение Q, получим

откуда непосредственно следует утверждение теоремы.

Замечание. Геометрический смысл теоремы Лагранжа: на графике функции y = f(x) найдется точка, касательная в которой параллельна отрезку, соединяющему точки графика с абсциссами а и b.

Теорема 2 (теорема Коши). Если f(x) и g(x) – функции, непрерывные на [ ab ] и дифференцируемые на (ab), и g′(x)≠ 0 на (ab), то на (ab) найдется такая точка x=c, a<c<b, что

Доказательство.

Обозначим

При этом g(b)-g(a) не равно нулю, иначе по теореме Ролля нашлась бы точка внутри отрезка [ ab ], в которой g’(x) =0, что противоречит условию теоремы. Рассмотрим вспомогательную функцию

для которой выполнены все условия теоремы Ролля (в частности, F(a)=F(b)= 0). Следовательно, внутри отрезка [ ab ] существует точка х=с, в которой F’(c) =0. Но

Подставляя в это равенство значение Q, получаем доказательство утверждения теоремы.