Применение производной к исследованию функций

Функция называется возрастающей на (a;b), если большему значению аргумента соответствует большее значение функции:

(7.11)

Функция называется убывающей на (а;b), если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции:

(7.12)

Возрастающие или убывающие функции называются монотонными (сравните с п. 1.1)

Теорема (необходимое условие возрастания функции) Если дифференцируемая на (а;b) функция ƒ(х) возрастает на интервале (а;b), то ƒ′(х) ≥0 для любого хє(а;b).

Доказательство. Пусть x> х₀, тогда ƒ(х)>ƒ(х₀). Поэтому x- х₀>0 и .

Так как ƒ(х) дифференцируема на (а;b), то, переходя к пределу в неравенстве при x > х₀, получим

Теорема доказана.

y=2x ƒ′(x)>0

0 x x

Рис. 7.4 Связь монотонности со знаком производной

Теорема (Необходимое условие убывания функции). Если дифференцируемая на (а;b) функция ƒ(х) убывает на интервале (а;b), то ƒ′(х)≤ 0 для любого хє(а;b).

Теорема (достаточное условие возрастания функции). Если функция ƒ(х) имеет положительную производную в каждой точке интервала (а;b), то функция ƒ возрастает на (а;b).

Теорема (Достаточное условие убывания функции). Если функция ƒ(х) имеет отрицательную производную в каждой точке интервала (а;b), то функция ƒ убывает на интервале (а;b).

Пример:

7.27 Найти интервалы монотонности функции .

Решение. Функция определена на множестве всех действительных чисел. Найдем её производную:

Находим знак ƒ′(х) методом интервалов:

- + -

ƒ′(х) >0 при хє , следовательно ƒ(х) возрастающая на этом интервале; при или , следовательно ƒ(х) убывающая на этих интервалах. Границы интервалов могут быть включены в интервалы монотонности, т. к. функция непрерывна в этих точках. Можно записать:

;

Точка х₀ называется точкой минимума функции ƒ, если найдется такая окрестность точки х₀, что для всех х из этой окрестности справедливо неравенство

y y

ƒ(x)

ƒ(х₀) ƒ(х₀)

(х₀) (x х₀)

0 х₀-ε х₀+ε x 0 х₀-ε х₀+ε x

Рис. 7.5 Точки минимума функции

Точка х₀ называется точкой максимума функции ƒ, если найдется такая окрестность точки х₀, что для всех х из этой окрестности справедливо неравенство .

y y

ƒ(х₀)

ƒ(х)

ƒ(х₀)

()) ()

0 х₀-ε х₀ х₀+ε x 0 х₀-ε х₀ х₀+ε x

Рис. 7.6 Точки максимума функции

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках называются экстремумами функций.

Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками первого рода.

Теорема Ферма (Необходимое условие экстремума). Если точка х₀ является точкой экстремума функции ƒ и в этой же точке существует производная, то она равна нулю: ƒ′(х₀)=0

Теорема (Достаточное условие максимума) Если функция ƒ непрерывна в точке х₀, а ƒ′(х)>0 на интервале и ƒ′(x)<0 на интервале , то точка х₀ является точкой максимума функции ƒ.

Иными словами: Если функция ƒ непрерывна в точке х₀ и при переходе через эту точку слева направо производная меняет знак с «+»на «-», то х₀ – точка максимума функции ƒ.

Теорема (Достаточное условие минимума). Если функция ƒ непрерывна в точке х₀, ƒ′(x) на интервале и ƒ′(x)>0 на интервале , то точка х₀ является точкой минимума функции ƒ.

Иными словами: Если функция ƒ непрерывна в точке х₀ и при переходе через эту точку слева направо производная меняет знак с «-» на «+», то х₀ - точка минимума функции ƒ.

Пример:

7.27 Найти точки экстремума функции .