Общая схема исследования функции и построения её графика

1) Элементарные исследования (область определения, четность-нечетность, периодичность, точки пересечения с осями координат).

2) Непрерывность.

3) Асимптоты.

4) Интервалы монотонности, экстремум.

5) Выпуклость, вынутость, точки перегиба.

6) График.

Пример:

7.34 .

Провести полное исследование функции и построить её график.

Решение:

1) Элементарные исследования. Область определения функции:

; ; ƒ(-x) ≠ƒ(x); ƒ(-x)≠-ƒ(x).

Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего положения), непериодическая, точка пересечения с осью (oy): x=0, ; .

Точка пересечения с осью (ox): x³+9x²+15x-9=0, кубическое уравнение не всегда может быть решено.

Точки пересечения с осью (ox) могут быть построены приближенно.

2) Непрерывность:

Функция непрерывна в каждой точке области определения.

3) Асимптоты:

Вертикальных асимптот нет. Наклонные асимптоты: y=kx+b,

,

следовательно, ни наклонных, ни горизонтальных асимптот нет.

4) Интервалы монотонности, экстремум.

Находим производную:

.

Критические точки первого рода

ƒ′(x) = 0 => x²+6x+5=0 => x₁=-5; x₂=-1.

Знак ƒ′(х):

+ - +

x

Итак, функция ƒ-возрастающая на интервалах , т.к. ƒ′(х)>0 на этих интервалах; функция убывающая на , т.к. ƒ′(х)<0, граничные точки включены в интервалы, т.к. функция в них непрерывна;

х = -5 – точка максимума, т.к при переходе через эту точку слева направо производная меняет знак с «+» на «-»; ƒ(-5) = 4, точка графика A₂(-5;4);

x = -1 – точка минимума, т.к при переходе через эту точку слева направо производная меняет знак с «-» на «+»; ƒ(-1) = -4; точка графика A₃(-1;-4).

5) Выпуклость, вынутость, точки перегиба.

Находим вторую производную:

.

Критические точки второго рода:

ƒ′′(x)=0 => x+3=0; x=-3.

Знак ƒ′′(х):

- +

x

График функции выпуклый на , т.к. ƒ′′(х)<0; вогнутый на , т.к. ƒ′′(х)>0;

х=-3 – абсцисса точки перегиба; ƒ(-3)=0; А₄(-3;0) – точка перегиба.

6) С учетом результатов исследования построим график функции

(рис. 7.11)

Рис. 7.11 График функции

Пример:

7.35

Исследовать функцию, построить ее график.

1) Элементарные исследования.

Область определения .

Функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего положения), непериодическая; точки пересечения с осями:

(oy): x=0 => y=-2, M₁(0;-2);

(ox): y=o => x²-2x+2=0 – нет корней, точек пересечения с осью (ох) нет.

2) Непрерывность.

Функция непрерывна на ; .

3) Асимптоты:

а) вертикальная х=1, т.к ;

;

б) наклонная y = kx+b

; .

Таким образом, наклонная асимптота имеет уравнение y=x-1

4) Интервалы монотонности, экстремум.

Находим производную:

.

Критические точки первого рода:

y′ = 0 => x²-2x = 0 =>x₁ = 0, x₂ = 2.

Знак производной:

+ - - +

x

0 1 2

Функция возрастающая на каждом из интервалов , т.к ƒ′(х)>0; функция убывающая на , т.к. ƒ′(х)<0;

x = 0 – точка максимума, т.к. при переходе через эту точку слева направо производная меняет знак с «+» на «-»; ƒ(0)=-2, точка графика М₁(0;-2);

х = 2 – точка минимума, т.к. при переходе через эту точку слева направо производная меняет знак с «-» на «+»; ƒ(2)=2, точка графика М₂(2;2).

5) Выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

Вторая производная:

.

Критических точек второго рода нет.

Знак второй производной ƒ′′:

- +

x

График функции выпуклый на , т.к. ƒ′′(х)<0; вогнутый на , т.к. ƒ′′(х)>0 на этом интервале.

6) Строим график функции.

Сначала проводим асимптоты и отмечаем точки М₁ и М₂ (рис. 3.12)

y

x=1

М₂ y=x-1

x

0 1 2

-1

M₁

Рис. 7.12 График функции