Стична площина кривої

Порівняємо радіус-вектор довільної точки дотичної прямої з розкладом радіус-вектора кривої в околі точки .

Якщо покласти , то ці радіус-вектори відрізняються на нескінченно малу : Тому при досить малому криву можна наближено замінити на дотичну пряму. Іншими словами, дотична пряма є першим наближенням кривої. Це означає, що властивості кривої можна вивчати («в малому») за допомогою простішого геометричного образу – прямої (а саме: дотичної прямої).

Узагальненням цієї задачі є задача про знаходження площини, яка була б найтісніше пов’язана з кривою в даній її точці. Це так звана стична площина.

Стичною площиною кривої в даній її точці називається граничне положення площини, яка проходить через дотичну пряму до кривої в точці та іншу точку кривої , що необмежено наближається вздовж до .

Площина, яка проходить через дотичну до кривої , називається дотичною площиною . Дотична площина до кривої проходить через дві точки , що необмежено зближуються (до ). Стична площина – та з дотичних площин, яка проходить через три точки кривої , що необмежено зближуються.

Якщо – плоска крива, то її стична площина співпадає з площиною, в якій лежить ця крива.

Виведемо рівняння стичної площини. Нехай крива задана рівнянням у векторній формі . Візьмемо на точку , якій відповідає радіус-вектор : . Проведемо в цій точці дотичну до , напрям дотичної визначається вектором .

Нехай – точка , близька до , і точці відповідає радіус-вектор : . Через дотичну і точку проведемо площину . Довільній точці площини поставимо у відповідність радіус-вектор : .

Оскільки вектори , і лежать в одній площині , то їх мішаний добуток дорівнює нулю: .

Але ; .

Звідси

. (8)

Знайдемо розклад Тейлора для функції . Для цього запишемо розклад для радіуса-вектора кривої в околі точки за степенями :

.

Звідси .

Підставимо в (8). Одержимо:

;

.

Врахуємо, що , і поділимо обидві частини останньої рівності на .

Одержимо . (9)

Для стичної площини (за означенням), тому .

Тоді з (9) одержимо рівняння стичної площини у векторній формі:

. (10)

Теорема 6. В будь-якій точці регулярної кривої класу (у всякому разі двічі неперервно диференційовної) існує стична площина, причому: 1) якщо , то стична площина єдина і її нормальний вектор ; 2) якщо , то будь-яка площина, яка проходить через дотичну кривої, є стичною.

Враховуючи, що

можемо записати (10) в скалярній формі:

. (10')

Основні властивості стичної площини

1°. Стична площина кривої є граничним положенням площини, яка проходить через три нескінченно близькі точки кривої. Прийнявши цю властивість за означення стичної площини, можна отримати її рівняння. 2°.Дотичною площиною кривої називається будь-яка площина, що проходить через дотичну пряму. Площини, що дотикаються до кривої в даній точці, утворюють пучок. Стична площина належить цьому пучку і є однією з дотичних площин. Можна з’ясувати відмінність стичної площини від інших дотичних площин, які називатимемо звичайними дотичними площинами. Якщо точка кривої наближається до точки дотику, то: 1) віддаль її від звичайної дотичної площини є нескінченно мала другого порядку відносно приросту параметра; 2) віддаль точки від стичної площини є нескінченно мала, принаймні, третього порядку відносно того ж приросту параметра. 3°.Стична площина має дотикання другого порядку з кривою, тобто: , якщо , де d – відстань від , h – відстань від стичної площини. Зауважимо, що дотична пряма з кривою має дотикання 1 порядку. Прийнявши цю властивість за означення стичної площини, можна довести теорему 6. 4°. При будь-якій параметризації кривої вектор другої похідної радіуса-вектора кривої розміщений в її стичній площині. Якщо t – час, а – рівняння руху, то вектор називається вектором прискорення рухомої точки ( – вектор швидкості). Вектор прискорення завжди розміщений в стичній площині траєкторії рухомої точки.

Задача. Скласти рівняння стичної площини конічної гвинтової лінії

в початку координат.

Розв’язання. Початок координат відповідає значенню . Знайдемо перші та другі похідні по t:

При маємо:

Підставляємо ці значення в рівняння (10'):

, звідки , тобто

Зауваження. Дана лінія називається конічною, оскільки вона розміщена на конусі . Це легко перевірити підстановкою: .

Відповідь: