Дотична пряма просторової кривої

Дотичною прямою до кривої в її даній точці називається граничне положення січної, яка проходить через дану точку та іншу точку кривої, яка необмежено наближається вздовж кривої до даної точки.

В диференціальній геометрії використовується ще одне означення дотичної до кривої, еквівалентне наведеному вище (рис.8).

Нехай – дана крива, ; l – пряма, .

Візьмемо точку і позначимо її відстані: d – відстань Q від (), h – відстань Q від l.

Якщо і – кут між прямими l і , то – показник співпадання січної з l.

Граничне положення січної при є дотичною до в точці , при цьому .

Пряма l називається дотичною до кривої в точці , якщо .

Теорема 5.Гладка крива, задана рівнянням , , у кожній своїй точці має єдину дотичну, яка паралельна вектору .

□ 1) Єдиність дотичної. Припустимо, що крива в точці має дотичну l.

Нехай – одиничний вектор дотичної в точці , точкам і Q кривої відповідають значення і :

, .

.

, де – площа паралелограма, побудованого на векторах і .

За означенням дотичної: . (5)

Потрібно перейти до границі при . Але у виразі для немає . Поділимо чисельник і знаменник на : .

Звідси , оскільки .

Таким чином, якщо дотична l існує, то вона має напрям вектора . Точка і вектор визначають єдину дотичну.

2) Існування дотичної. Дотична визначається точкою і напрямним вектором. З попередніх записів видно, що таким вектором може бути одиничний вектор, колінеарний вектору . Справді, розглянемо вектор і запишемо для прямої з таким напрямним вектором:

; .

Це і означає, що пряма, яка визначається точкою і напрямом , є дотичною. ■

Зауваження. Тепер зрозумілий зміст обмеження в означенні регулярної кривої. Це обмеження еквівалентне вимозі існування дотичної до кривої (напрям нульового вектора невизначений).

Знайдемо рівняння дотичної прямої для різних способів задання регулярної просторової кривої в точці .

а) Крива задана параметричним рівнянням у векторній формі: (рис. 10).

,

, ,

(6)

б) Крива задана параметричними рівняннями в скалярній формі

Позначимо координати точок і M: , та скористаємось пропорційністю відповідних координат колінеарних векторів:

()

в) Криву задано як перетин двох поверхонь:

де функції неперервні разом з їх частинними похідними в деякому околі точки .

Припустимо, що в точці кривої ранг матриці дорівнює 2. Це умова того, що в точці існує окіл, усі точки якого утворюють регулярну елементарну криву.

Нехай – регулярна параметризація цієї ж кривої в околі точки .

Підставивши ці функції в ліві частини рівнянь одержимо тотожності

Продиференціюємо ці рівності по t, застосовуючи правило диференціювання складеної функції від трьох змінних:

Ліві частини рівностей містять дві групи величин:

– похідні від координат в точці ;

– частинні похідні від функцій, які визначають поверхні і обчислюються в точці .

Складемо матрицю з елементів другої групи: .

Оскільки її ранг дорівнює 2, то розв’язки однорідної системи можна подати через відношення визначників 2^го порядку, складених з елементів матриці А:

.

Підставимо в рівняння (6') замість , , величини, їм пропорційні:

. (6")

Задача. Знайти рівняння дотичної в точці (a,0,0) до гвинтової лінії

Розв’язання. Даній точці відповідає значення t=0.

; ; .

У відповідності з (6') запишемо рівняння дотичної: .

Відповідь: .