Методические указания

Понятие дифференциала функции

Пусть функция имеет в точке отличную от нуля производную

Тогда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, можно записать , где при , или .

Таким образом, приращение функции представляет собой сумму двух слагаемых и , являющихся бесконечно малыми при . При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функция одного порядка с , так как , а второе слагаемое есть бесконечно малая функция более высокого порядка, чем то .

Поэтому первое слагаемое называют главной частью приращения функции .

Дифференциалом функции в точке называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается (или ):

.(1)

Дифференциал называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной , т. е. дифференциал функции .

Так как , то, согласно формуле (1), имеем , т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: .

Поэтому формулу (1) можно записать так

, (2)

иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Из формулы (2) следует равенство . Теперь обозначение производной можно рассматривать как отношение дифференциалов и .

Пример 1. Найти дифференциал функции .

Решение: По формуле находим .

Пример 2. Найти дифференциал функции . Вычислить при .

Решение: .

Подставив и , получим .

Геометрический смысл дифференциала функции

Выясним геометрический смысл дифференциала.

Для этого проведем к графику функции в точке касательную и рассмотрим ординату этой касательной для точки (см. рис.). На рисунке . Из прямоугольного треугольника имеем: , т.е. .

Но, согласно геометрическому смыслу производной, . Поэтому .

Сравнивая полученный результат с формулой (1), получаем , т. е. дифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда получит приращение .

В этом и состоит геометрический смысл дифференциала.

Основные теоремы о дифференциалах

Основные теоремы о дифференциалах легко получить, используя связь дифференциала и производной функции () и соответствующие теоремы о производных.

Например, так как производная функции равна нулю, то дифференциал постоянной величины равен нулю: .

Теорема 1. Дифференциал суммы, произведения и частного двух дифференцируемых функций определяются следующими формулами:

Теорема 2. Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.

С помощью определения дифференциала и основных теорем о дифференциалах легко преобразовать таблицу производных в таблицу дифференциалов.

Таблица дифференциалов

, в частности

, если

, в частности

Применение дифференциала к приближенным вычислениям

Как уже известно, приращение функции в точке можно представить в виде , где при , или . Отбрасывая бесконечно малую более высокого порядка, чем , получаем приближенное равенство