Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала

Пусть функция f(x, y) дифференцируема в точке (х, у). Найдем полное приращение этой функции:

Если подставить в эту формулу выражение

то получим приближенную формулу:

Пример. Вычислить приближенно значение , исходя из значения функции при x = 1, y = 2, z = 1.

Из заданного выражения определим Dx = 1,04 – 1 = 0,04, Dy = 1,99 – 2 = -0,01,

Dz = 1,02 – 1 = 0,02.

Найдем значение функции u(x, y, z) =

Находим частные производные:

Полный дифференциал функции u равен:

Точное значение этого выражения: 1,049275225687319176.

Вычислить приближенно с помощью дифференциала .

Решение. Введем функцию двух переменных . Так как 2,01=2+0,01, . Аналогично , т. к. . Воспользуемся тем, что при малых и .

Так как ,

отсюда следует, что .

Заменим приращение функции ее дифференциалом ,

где .

Тогда ,

т. е. в данном случае .

Вычислим . Найдем . Для этого сначала найдем частную производную по в произвольной точке.

.

Теперь найдем

;

.

Находим искомое значение корня

.

Если найти на калькуляторе, то получим . Различие только в четвертом знаке после запятой.

Ответ: .