2015-07-14
1304
Свойство 1. Значение дисперсии любой выборки неотрицательно, т.е. 
.
Свойство 2. Если измеряемая величина постоянна X=c, то дисперсия для такой величины равна нулю: D[c]=0.
Свойство 3. Если все значения измеряемой величины x в выборке увеличить в c раз, то дисперсия данной выборки увеличится в c2 раз: D[cx]=c2D[x], где c=const.
Иногда вместо дисперсии используют выборочное среднее квадратическое отклонение 
, которое равно арифметическому квадратному корню из выборочной дисперсии: 
.
Для рассмотренного примера выборочное среднее квадратическое отклонение равно 
.
Дисперсия позволяет оценить не только степень различия измеряемых показателей внутри одной группы, но может быть использована и для определения отклонения данных между разными группами. Для этого используется несколько видов дисперсии.
Если в качестве выборки берётся какая-либо группа, то дисперсия данной группы называется групповой дисперсией. Чтобы выразить численно различия между дисперсиями нескольких групп, существует понятие межгрупповой дисперсии. Межгрупповой дисперсией называется дисперсия групповых средних относительно общей средней:
|
|
|
где k – число групп в общей выборке, 
- выборочная средняя для i-ой группы, ni – объём выборки i-ой группы, 
- выборочная средняя для всех групп.
Рассмотрим пример.
Средняя оценка за контрольную работу по математике в 10 «А» классе составила 3.64, а в 10 «Б» классе 3.52. В 10 «А» учится 22 человека, а в 10 «Б» - 21. Найдём межгрупповую дисперсию.
В данной задаче выборка разбивается на две группы (два класса). Выборочная средняя для всех групп равна:
.
В таком случае межгрупповая дисперсия равна:
Поскольку межгрупповая дисперсия близка к нулю, то мы можем сделать вывод, что оценки одной группы (10 «А» класса) в малой степени отличаются от оценок второй группы (10 «Б» класса). Иными словами, с точки зрения межгрупповой дисперсии рассмотренные группы в незначительной степени отличаются по заданному признаку.
Если общая выборка (например, класс учеников) разбита на несколько групп, то помимо межгрупповой дисперсии можно рассчитать ещё внутригрупповую дисперсию. Такая дисперсия является средней величиной для всех групповых дисперсий.
Внутригрупповая дисперсия Dвнгр рассчитывается по формуле:
где k – количество групп в общей выборке, Di – дисперсия i-ой группы объёма ni.
Существует взаимосвязь между общей (Dв), внутригрупповой (Dвнгр) и межгрупповой (Dмежгр) дисперсиями:
Dв=Dвнгр+Dмежгр.
