Уравнение гармонических колебаний. Пружинный, математический и физический маятники

Гармонические колебания — колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса:
, где — амплитуда колебаний, — фаза, — начальная фаза в момент ,
— круговая (циклическая) частота. Гармонические колебания возникают, когда сила, возвращающая тело в положение равновесия, пропорциональна величине отклонения от равновесия.
В этом случае уравнение динамики принимает вид однородного дифференциального уравнения второго порядка, решением которого является гармоническая функция (синуса или косинуса):
.
Пружинный маятник — груз массой , подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы
.

.
Циклическая частота колебаний пружинного маятника .
Период колебаний математического маятника .
Частота колебаний математического маятника .
Математический маятник — материальная точка массой , подвешенная на нерастяжимой невесомой нити длиной и колеблющаяся под действием силы тяжести.

По второму закону Ньютона:
,
В проекциях на координатные оси:
, .
Связь тангенциального ускорения и угла поворота маятника :
.
Уравнение в проекциях на ось x принимает вид:
.
При малых значениях угла
.
Таким образом,
или .
Циклическая частота колебаний математического маятника .
Период колебаний математического маятника .
Частота колебаний математического маятника .
Физический маятник — твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр масс тела.
(В однородном поле силы тяжести центр масс тела совпадает с центром тяжести).

Основное уравнение динамики твердого тела:

Момент силы тяжести
.
Угловое ускорение
.
Уравнение динамики физического маятника принимает вид:
или ,
.
Циклическая частота колебаний физического маятника .
Период колебаний физического маятника .
Частота колебаний физического маятника .