Сложения колебаний одинакового направления. Биения. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Колеблющееся тело может участвовать в нескольких колебательных процессах, тогда необходимо найти результирующее колебание, иными словами, колебания не­обходимо сложить. Сложим гармониче­ские колебания одного направления и оди­наковой частоты

Так как векторы A 1 и А 2 вра­щаются с одинаковой угловой скоростью w₀, то разность фаз (j₂-j₁) между ними остается постоянной. Уравнение результирующего колебания будет х=х ₁ +х ₂ =А cos(w₀ t +j).

Периодические изменения амплитуды колебания, возника­ющие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называ­ются биениями.

Пусть амплитуды складываемых коле­баний равны А, а частоты равны  и +, причем <<. Начало отсчета выберем так, чтобы начальные фазы обоих колеба­ний были равны нулю:

Складывая эти выражения и учитывая, что во втором сомножителе Dw/2<<w, найдем

Получившееся выражение есть произведе­ние двух колебаний. Так как Dw<<w, то сомножитель, стоящий в скобках, почти не изменяется, когда сомножитель coswt со­вершит несколько полных колебаний. По­этому результирующее колебание х мож­но рассматривать как гармоническое с частотой w, амплитуда А _б, которого изме­няется по следующему периодическому за­кону:

Пусть некоторое тело колеблется и вдоль оси x, и вдоль оси y, т.е. участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях:

Упростим выражения, выбрав начало отсчета так, чтобы , т.е..