При построении и исследовании математических моделей необходимо учитывать не только основные свойства элементарных функций, рассматриваемые ранее. Одной из важных характеристик функции является скорость ее изменения. Определить скорость изменения функции можно с помощью касательных к графику функции. Чем ближе угол наклона касательной к оси Ох к 90°, тем выше скорость изменения функции.
Через точки и проведем к графику данной функции секущую. Обозначим ,
Определим угол наклона секущей относительно оси Ох:
Устремим к нулю. Тогда точка В устремиться к точке А, а секущая АВ будет стремиться к касательной, проходящей через точку А.
Т.е. при , где – угол наклона касательной к оси Ох, .
Производной функции называется конечный предел приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (при условии, что этот предел существует).
.
Если функция в точке (или в каждой точке промежутка Х) имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке (на этом промежутке).
Если функция дифференцируема в точке (или в каждой точке промежутка Х), то она в этой точке (или на промежутке) непрерывна. Если функция непрерывна в данной точке, то она не обязательно дифференцируема в этой точке.
Геометрический смысл производной: производная есть угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой в точке , т.е. .
Тогда уравнение касательной к кривой в точке примет вид
.