2015-07-14
391
При построении и исследовании математических моделей необходимо учитывать не только основные свойства элементарных функций, рассматриваемые ранее. Одной из важных характеристик функции является скорость ее изменения. Определить скорость изменения функции можно с помощью касательных к графику функции. Чем ближе угол наклона касательной к оси Ох к 90°, тем выше скорость изменения функции.
 |
Через точки
и 
проведем к графику данной функции секущую. Обозначим 
, 
Определим угол наклона секущей относительно оси Ох: 
Устремим 
к нулю. Тогда точка В устремиться к точке А, а секущая АВ будет стремиться к касательной, проходящей через точку А.
Т.е. при 
, где 
– угол наклона касательной к оси Ох, 
.
Производной функции 
называется конечный предел приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (при условии, что этот предел существует).
.
Если функция в точке 
(или в каждой точке промежутка Х) имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке (на этом промежутке).
Если функция дифференцируема в точке (или в каждой точке промежутка Х), то она в этой точке (или на промежутке) непрерывна. Если функция непрерывна в данной точке, то она не обязательно дифференцируема в этой точке.
Геометрический смысл производной: производная 
есть угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой в точке , т.е. 
.
Тогда уравнение касательной к кривой в точке примет вид
.
