Линейные однородные уравнения

Построим общее решение линейного однородного уравнения

. (4)

Уравнению (4) сопоставим систему дифференциальных уравнений

, (5)

которую назовём характеристической. Заметим, что характеристическая система (5) содержит обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Значит общее решение (5) запишется в виде:

, , .

Если полученный общий интеграл разрешить относительно , то будем иметь линейно независимую функцию, тождественно равную константе на любом решении системы (5):

, , . (6)

Каждая из функций , определённая (6), называется первым интегралом уравнения (4)

Первые интегралы , определённые в окрестности точки называются независимыми в точке , если

, .

Для системы (5) существует независимых первых интегралов.

Общее решение линейного однородного уравнения (4) представимо в виде

, (7)

где – произвольная дифференцируемая функция от независимых первых интегралов .