Решение квазилинейных уравнений

Рассмотрим неоднородное квазилинейное уравнение (3). Сведём поиск решения неоднородного уравнения к задаче о нахождении решения однородного уравнения, то есть к неизвестной ситуации. Для этого введём в рассмотрение новую функцию , положив - решение данного квазилинейного уравнения (3). Определённая таким образом функция тождественно равна нулю. Однако должна удовлетворять уравнению:

Обозначив , предыдущее уравнение можно записать в виде, аналогичном (4). Таким образом, считаем задачу решённой.

Значит соответствующая неоднородному уравнению характеристическая система имеет вид:

. (8)

Помня предыдущее, утверждаем, что система (8) имеет ровно n независимых первых интегралов . Общее решение (3) записывается аналогично (7), то есть как

где - произвольная непрерывно дифференцируемая функция от независимых первых интегралов. Поскольку по определению, то общее решение квазилинейного уравнения (3) получили в неявном виде:

. (9)

В частности, если входит только в один из первых интегралов, например, в последний, то общее решение можно записать в явном, разрешённом относительно искомой функции , в виде

где - произвольная непрерывно дифференцируемая функция.

Замечание. При решении систем (5) или (8) полезно использовать свойство равных дробей: если имеются равные дроби и произвольные , то из равенства

будет следовать равенство

Также часто используются следующие формулы:

, ,

, .

Пример 1. Найти общее решение уравнения

Решение.

Данное уравнение является линейным однородным уравнением. Выписываем соответствующую характеристическую систему:

Мы должны найти два линейно независимых первых интеграла. Ищем две интегрируемые комбинации[1]. Из первого уравнения характеристической системы , то есть находим один из первых интегралов .

Пользуясь свойством равных дробей, составим вторую интегрируемую комбинацию: умножим числитель и знаменатель первых двух соотношений на и соответственно и сложив их, получим или .

Сокращая обе части последнего уравнения на и интегрируя его, получим второй из первых интегралов . Поскольку найденные первые интегралы независимы (проверить самостоятельно), то общее решение данного уравнения имеет вид

где .

Пример 2. Решить уравнение

Решение.

Данное уравнение является квазилинейным. Характеристическая система, ему соответствующая, имеет вид:

Нужно найти три интегрируемые комбинации. Приравнивая первое и третье соотношения и сокращая на , получим уравнение , откуда находим .

Для нахождения второго семейства характеристик используем свойство равных дробей. Умножим числитель и знаменатель первых трёх соотношений соответственно на , , и, сложив их, получим: