Типовой расчет 4.2 по теме «Криволинейные и поверхностные интегралы»

Задание 1. Вычислить криволинейные интегралы I-го рода:

, где L – дуга кривой	где L – дуга циклоиды ,	где L – дуга параболы от точки до точки .
где L – отрезок прямой, соединяющей точки . и	где L – контур треугольника с вершинами	где L – дуга параболы , отсечённая парабола
где L – арка циклоиды ,	, где L – дуга астроиды	где L – дуга гиперболы
где L – дуга кривой ,	где L – дуга кривой	, где L – дуга кривой
где L – дуга астроиды	где L – дуга кривой	где L – дуга параболы
где L – дуга кривой	где L – дуга параболы	где L – контур треугольника с вершинами
где L – отрезок прямой, соединяющей точки и .	где L – дуга кривой	где L – отрезок прямой, соединяющей точки и
, где L – контур квадрата	где L –контур квадрата	где L – верхняя половина окружности
где L – дуга эллипса	где L – дуга окружности	где L – четверть эллипса лежащая в первом квадранте.
где L – контур прямоугольника с вершинами .	где L – дуга кривой между точками	где L – дуга развёртки окружности

Задание 2. Вычислить криволинейные интегралы I-го рода.

где L – верхняя половина кардиоиды	где L – правый лепесток лемнискаты	где L – верхняя полуокружность
где L – часть спирали Архимеда , заключённая внутри круга радиуса R с центром в начале координат (в полюсе).	, где L - дуга спирали Архимеда	, где L – дуга лемнискаты
, где L – дуга кардиоиды	, где L – граница кругового сектора	, где L – окружность
, где L – дуга лемнискаты	, где L – первый виток линии	, где L – дуга линии от точки до точки
где L – отрезок прямой, соединяющей точки и	где L – дуга окружности	где L – первый виток конической винтовой линии
где L – отрезок прямой, соединяющей точки и	где L – первый виток конической винтовой линии	где L – дуга кривой
где L – дуга винтовой линии	где L – отрезок прямой, соединяющей точки и	, где L – часть дуги спирали Архимеда , заключенная внутри круга радиусом R с центром в полюсе.
,где L – дуга кривой	, где L - дуга кардиоиды	, где L - дуга астроиды между точками и .
, где L - дуга кривой	, где L - дуга кривой	,где L – первый виток винтовой линии
,где L – первый виток винтовой линии	,где L – развертка окружности	, где L – дуга лемнискаты Бернулли

Задание 3. Вычислить криволинейные интегралы 2-го рода:

где L – виток винтовой линии	где L – дуга кривой	где L – дуга кривой
, где L – дуга кривой	где L – отрезок прямой от точки до точки	где L – дуга эллипса от точки до точки
, где L – окружность пробегаемая в положительном направлении.	, где L – эллипс , пробегаемый в положительном направлении	, где L – четверть астроиды от точки до точки
где L – контур треугольника с вершинами , пробегаемый в положительном направлении.	, где L –отрезок прямой от точки до точки	, где L – контур прямоугольника, образованного прямыми Интегрирование вести в положительном направлении.
, вдоль кривой от точки до точки	где L - отрезок прямой от точки до точки	, где L - окружность , пробегаемая в положительном направлении.
где L – первая четверть окружности, пробегаемая против хода часовой стрелки.	где L – верхняя половина эллипса , пробегаемая по ходу часовой стрелки.	, где L – контур, ограниченный параболами и пробегаемый против хода часовой стрелки.
где L – дуга кривой от точки до точки	, где L – контур треугольника с вершинами , пробегаемый против хода часовой стрелки.	где L – дуга параболы , расположенная над осью OX и пробегаемая против хода часовой стрелки.
, где L – арка циклоиды	, где L – отрезок прямой от точки до точки	, вдоль линии от точки до точки
, вдоль линии от точки до точки	, вдоль прямой от точки до точки	, вдоль линии от точки до точки
, вдоль прямой от точки до точки	, вдоль прямой от точки до точки	, вдоль параболы от точки до точки

Задание 4. Вычислить криволинейные интегралы 2-го рода.

где контур L – ограничивает круговой сектор радиуса R с углом	, где L – окружность	где L – контур треугольника с вершинами
где L – окружность	где L – контур треугольника с вершинами	где контур фигуры, ограниченной линиями и
Вычислить интеграл по замкнутому контуру , если в направлении возрастания параметра .	Вычислить интеграл по замкнутому контуру , если в направлении возрастания параметра .	Вычислить интеграл по замкнутому контуру , если в направлении возрастания параметра .
Вычислить интеграл по замкнутому контуру , если , в направлении возрастания параметра .	Вычислить интеграл по замкнутому контуру , если в направлении возрастания параметра .	Вычислить интеграл по замкнутому контуру , если в направлении возрастания параметра .
Вычислить интеграл по замкнутому контуру , если в направлении возрастания параметра .	Вычислить интеграл по замкнутому контуру , если в направлении возрастания параметра .	Вычислить интеграл по замкнутому контуру , если в направлении возрастания параметра .
, где L – контур прямоугольника, образованного прямыми при положительном направлении обхода контура	Вычислить интеграл по замкнутому контуру , если в направлении возрастания параметра .	Вычислить интеграл по замкнутому контуру , если в направлении возрастания параметра .
Вычислить интеграл по замкнутому контуру , если в направлении возрастания параметра .	Вычислить интеграл по замкнутому контуру , если в направлении возрастания параметра .	Вычислить интеграл по замкнутому контуру , если в направлении возрастания параметра .
, где L_OA – дуга эллипса «пробегаемая»против хода часовой стрелки.	Вычислить интеграл по замкнутому контуру , если в направлении возрастания параметра .	, где L – контур треугольника, образованного прямыми при положительном направлении обхода контура.
, где L – дуга эллипса при положительном направлении обхода контура.	, где L – контур треугольника с вершинами при положительном направлении обхода контура.	, где L_АВО – ломаная (; ; ) при положительном направлении обхода контура.
, где L – эллипс , «пробегаемый»по ходу часовой стрелки.	, где L_OBA – ломаная ; ; ; .	где L – контур треугольника с вершинами , и

Задача 5. Найти работу силы при перемещении вдоль линии от точки к точке .

Задача 6. Вычислить поверхностные интегралы по площади поверхности (I рода)

где σ - часть плоскости , лежащая в первом октанте;	где σ – часть сферы , лежащая в первом октанте;	где σ – полусфера ;
где σ – полусфера	где σ – полусфера	где σ – часть плоскости расположенная в первом октанте;
где σ – полусфера	,где σ – поверхность, отсекаемая от параболоиды плоскостью	где σ – часть плоскости , лежащая в первом октанте;
где σ – часть поверхности конуса ;	где σ – сфера	где σ – часть сфера лежащая в первом октанте;
где σ – часть конической поверхности , заключенной между плоскостями и	где σ – часть поверхности расположенная между плоскостями и	где S – часть плоскости (p), отсеченная координатными плоскостями .
. где S – часть плоскости (p), отсеченная координатными плоскостями.	где S – часть плоскости (p), отсеченная координатными плоскостями	где S – часть плоскости (p) , отсеченная координатными плоскостями.
где S – часть плоскости (p), лежащая в первом октанте	. часть плоскости (p), лежащая в первом октанте .	часть плоскости (p), лежащая в первом октанте .
часть плоскости (p), лежащая в первом октанте .	часть плоскости (p), лежащая в первом октанте .	часть плоскости (p), лежащая в первом октанте
часть плоскости (p), лежащая в первом октанте .	часть плоскости (p), лежащая в первом октанте .	часть плоскости (p), лежащая в первом октанте .
где σ – часть плоскости лежащая в первом октанте;	часть плоскости (p), лежащая в первом октанте	часть плоскости (p), лежащая в первом октанте

Задача 7. Вычислить поверхностные интегралы по координатам (II рода)

	где σ – положительная сторона куба, составленного плоскостями		где σ – положительная сторона нижней половины сферы
	где σ – внешняя сторона эллипсоида .		где σ – внешняя сторона эллипсоида .
	где σ – внешняя сторона пирамиды, составленной плоскостями		где σ – внешняя сторона поверхности, расположенной в первом октанте и составленной из цилиндра и плоскостей
	,где σ – внешняя сторона верхней половины сферы		где σ – верхняя сторона части плоскости , лежащей в первом октанте;
	, где σ - внешняя сторона части поверхности параболоиды		где σ - внешняя сторона сферы
	где σ - внешняя сторона части параболоиды , отсечённой плоскостью .		где σ – внешняя сторона полусферы
	где σ - нижняя сторона круга		где σ – внешняя сторона полусферы
	, где S – часть поверхности параболоида (нормальный вектор n которой образует острый угол с ортом k), отсекаемая плоскостью .		, где S – часть поверхности параболоида (нормальный вектор n которой образует острый угол с ортом i), отсеченная плоскостью .
	, где S – внешняя сторона поверхности эллипсоида .		, где S – внешняя сторона поверхности сферы .
	, где S – верхняя часть плоскости , отсеченной координатными плоскостями.		, где S – верхняя сторона плоскости , отсеченной координатными плоскостями.
	, где S – наружная поверхность цилиндра , отсеченная плоскостями .		, где S – внешняя сторона сферы , лежащая в первом октанте.
	, где S – часть поверхности параболоида (нормальный вектор n которой образует острый угол с ортом k), вырезаемая цилиндром .		, где S – часть поверхности конуса (нормальный вектор n которой образует тупой угол с ортом k), лежащая между плоскостями .
	, где S – часть поверхности параболоида (нормальный вектор n которой образует тупой угол с ортом k), отсекаемая плоскостью .		, где S – часть поверхности гиперболоида (нормальный вектор n которой образует тупой угол с ортом k), отсекаемая плоскостями .
	, где S – часть поверхности параболоида (нормальный вектор n которой образует тупой угол с ортом k), отсекаемая плоскостью .		, где S – часть поверхности конуса (нормальный вектор n которой образует острый угол с ортом k), отсекаемая плоскостями .
	, где S – внутренняя сторона цилиндра , отсекаемая плоскостями .		где σ – внешняя сторона части эллипсоида , лежащая в первом октанте.