Задания к разделу «Линейная оптимизация»

1. Предприятие выпускает продукцию четырех видов П1 — П4,для изготовления которой используются ресурсы трех видов: трудовые, сырье и оборудование. Нормы расхода каждого вида ресурса на изготовление единицы каждого вида продукции приведены в табл. 1.1.

Таблица 1.1. Нормы расхода ресурсов на выпуск единицы продукции

Прибыль, получаемая от реализации единицы продукции, равна: для продукции П1 — 60 у. е., для П2 — 70 у. е., для П3 — 120 у. е. и для П4 — 130 у. е. Определить оптимальный план производства каждого вида продукции, максимизирующий прибыль данного предприятия.

2. Магазин реализует три вида продукции П1,П2, П3. Для этого используются два ограниченных ресурса — полезная площадь помещений, которая с учетом коэффициента оборачиваемости составляет 450 м², и рабочее время работников магазина — 600 человекочасов. Товарооборот должен быть не менее 240 000 у. е. Необходимо разработать план товарооборота, доставляющего максимум прибыли. Затраты ресурсов на реализацию и полученная при этом прибыль представлены в 1 табл. 1.2.

Таблица 1.2. Затраты ресурсов на реализацию единицы продукции

3. Двум погрузчикам разной мощности не более чем за 24 часа нужно погрузить на первой площадке 230 тонн, на второй — 168 тонн. Первый погрузчик на первой площадке может по­грузить 10 тонн в час, на второй — 12 тонн в час. Второй по­грузчик на каждой площадке может погрузить по 13 тонн в час. Стоимость работ, связанных с погрузкой одной тонны первым погрузчиком на первой площадке, — 8 у. е., на вто­рой — 7 у. е., вторым погрузчиком на первой площадке — 12 у. е., на второй— 13 у. е. Нужно составить план работы, т. е. найти, какой объем работ должен выполнить каждый по­грузчик на каждой площадке, чтобы стоимость всех работ по погрузке была минимальной. Следует учесть, что по техниче­ским причинам первый погрузчик на второй площадке должен работать не более 16 часов.

4. Цех выпускает два вида продукции, используя два вида полу­фабрикатов. Продукция используется при комплектовании из­делий, при этом на каждую единицу продукции первого вида требуется не более двух единиц продукции второго вида. Нормы расходов a_ij полуфабрикатов каждого вида на единицу выпускаемой продукции, общие объемы полуфабрикатов b_i, и прибыль c_j от единицы каждой продукции представлены в табл. 1.4. Определить план производства, доставляющий мак­симум прибыли.

Таблица 1.4. Затраты ресурсов на реализацию единицы продукции

5. Исходя из специализации и своих технологических возможно­стей, предприятие может выпускать четыре вида продукции. Сбыт любого количества обеспечен. Для изготовления этой продукции используются трудовые ресурсы, полуфабрикаты и станочное оборудование. Общий объем ресурсов (в расчете на трудовую неделю), расход каждого ресурса на единицу выпускаемой продукции и цена, полученная за единицу продукции, приведены в табл. 1.5. Требуется определить план вы­пуска, доставляющий предприятию максимум выручки.

Таблица 1.5. Параметры выпускаемой продукции

6. На основании информации, приведенной в табл. 1.6, соста­вить план производства, максимизирующий объем прибыли.

Таблица 1.6. Количество ресурсов и их затраты на единицу продукции

7. Предприятию предложен на выбор выпуск три новых изделия, за счет которых можно было бы расширить номенклатуру продукции предприятия при тех же запасах ресурсов. Нормы затрат ресурсов и прибыль от реализации единицы продукции для этих изделий представлены в табл. 1.7. Определить из предложенных видов изделия, выгодные для выпуска пред­приятием.

Таблица 1.7. Нормы затрат ресурсов и прибыль от реализации единицы продукции

8. Необходимо составить диету, состоящую из двух продуктов: А и Б. Дневное питание этими продуктами должно давать не более 14 единиц жира, но и не менее 300 калорий. В одном килограмме продукта А содержится 15 единиц жира и 150 калорий, а в одном килограмме продукта Б — 4 единицы жира и 200 калорий. При этом цена одного килограмма продукта А равна 15 у. е., а цена одного килограмма продукта Б — 25 у. е. Какое количество продуктов в день необходимо употреблять для соблюдения диеты, чтобы вложенные средства были минимальны?

9. Для выпуска четырех видов продукции Р1, Р2, Р3, Р4 на предприятии используют три вида сырья С1, С2, С3. Объемы выделенного сырья, нормы расходы сырья и прибыль на единицу продукции при изготовлении каждого вида продукции приведены в табл. 1.9. Требуется определить план выпуска продукции, обеспечивающий максимальную прибыль предприятия.

Таблица 1.9. Нормы расхода сырья и прибыль от реализации единицы продукции

10. Фабрика выпускает три вида тканей, причем суточное плановое задание составляет не менее 90 м тканей первого вида, 70 м — второго и 60 м — третьего. Суточные ресурсы следующие: 780 единиц производственного оборудования, 850 единиц сырья и 790 единиц электроэнергии, расход которых на один метр тканей представлен в табл. 1.10.

Цена за 1 м ткани вида I равна 80 у. е., II — 70 у. е., III — 60 у. е. Определить, сколько метров ткани каждого вида сле­дует выпустить, чтобы общая стоимость выпускаемой про­дукции была максимальной.

Таблица 1.10. Затраты ресурсов на производство тканей

11. Фирма выпускает два вида древесно-стружечных плит — обычные и улучшенные. При этом производятся две основ­ные операции — прессование и отделка. Какое количество плит каждого типа можно изготовить в течение месяца так, чтобы обеспечить максимальную прибыль при следующих (табл. 1.11) ограничениях на ресурсы (материал, время, за­траты).

Таблица 1.11. Ограничение на ресурсы при производстве плит

12. Фирма производит два вида продукции: столы и стулья. Для изготовления одного стула требуется 3 кг древесины, а для изготовления одного стола — 7 кг. На изготовление одного стула уходит два часа рабочего времени, а на изготовление стола — 8 часов. Каждый стул приносит прибыль, равную 1 у. е., а каждый стол — 3 у. е. Сколько стульев и сколько столов должна изготовить эта фирма, если она располагает 420 кг древесины и 400 часами рабочего времени и хочет получить максимальную прибыль?

13. Фирма выпускает два набора удобрений для газонов: обычный и улучшенный. В обычный набор входит 3 кг азотных, 4 кг фосфорных и 1 кг калийных удобрений, а в улучшен­ный — 2 кг азотных, 6 кг фосфорных и 3 кг калийных удобрений. Известно, что для некоторого газона требуется, по меньшей мере, 10 кг азотных, 20 кг фосфорных и 7 кг калий­ных удобрений. Обычный набор стоит 3 у. е., а улучшен­ный — 4 у. е. Какие и сколько наборов удобрений нужно купить, чтобы обеспечить эффективное питание почвы и мини­мизировать стоимость?

14. Для изготовления изделий типа А1 и А2 склад может выделить не более 80 кг металла. Деталей типа А1 завод может изгото­вить за сутки не более 30 штук, типа А2 — не более 40 штук. Стоимость одного изделия типа А1 составляет 3 у. е., а типа А2 — 5 у. е. На изготовление одного изделия типа А1 идет 2 кг металла, типа А2 — 1 кг. Требуется найти такой план выпуска изделий, который позволит заводу получить максимальную прибыль.