2015-07-14
1972
Задача Коши ставиться так. Найти функцию 
, удовлетворяющую уравнению
(1)
и начальному условию
, (2)
Такая математическая модель используется в ситуациях, когда режим на границе области не оказывает существенного влияния на развитие процесса в средней части.
Решение задачи (1) – (2) даётся формулой Пуассона
. (3)
Функция (функция Грина)
, (4)
входящая в формулу Пуассона называется фундаментальным решением уравнения теплопроводности и является решением задачи Коши
(5)
где 
– дельта функция Дирака, которая определяется формально при помощи соотношений:
1. 
.
2. 
на любом интервале 
, содержащем точку 
.
Основным свойством 
– функции является следующее: если 
непрерывная функция, то
.
Задача (5) моделирует ситуации, когда в начальный момент времени в точке 
имеется мгновенный сосредоточенный источник тепла (точечный тепловой импульс) в одномерном теплопроводящем теле (стержне); или происходит мгновенное вспрыскивание «погонной единицы» диффундирующего вещества в тонкую трубку заполненную другим веществом.
График функции (4) – решения задачи (5) при любом 
называется кривой Гаусса (рис).
| Кривые 1, 2, 3 соответствуют моментам времени  . График функции  при любом значении  симметричен относительно прямой  . Максимум достигается при , и он равен  .
|
Из графика видно, что после мгновенного импульса температура в стержне (или концентрация в тонкой трубке) выравнивается.
Свойства функции Грина:
1. 
.
(площади под кривыми равны единицы)
2. 
.
3. 
при 
.
С помощью функции Грина решение (3) задачи (1) – (2) можно представить в виде
.
и можно рассматривать как результат суперпозиции решений, возникающих в точке 
в момент времени вследствие непрерывно распределенных по длине стержня (или трубки) тепловых импульсов (источников диффундирующего вещества) интенсивности 
в точке 
, приложенных в момент 
.
