Линейным дифференциальным уравнением 2-го порядка с частными производными и постоянными коэффициентами

В общем виде линейное дифференциальное уравнение с частными производными и постоянными коэффициентами можно представить в виде:

, (1)

где – постоянные, – заданная функция двух переменных.

Для определения вида этого уравнения и приведения к канонической форме по-прежнему надо составить характеристические уравнения, которые в этом можно проинтегрировать:

, .

А) Если , то уравнение (1) принадлежит к гиперболическому виду, и вводя обозначение , , получим два семейства характеристик

и .

Вводя новые переменные , получим канонический вид уравнения (1):

(2)

или

. (2’)

Б) Если , то уравнение (1) принадлежит к эллиптическому виду, и, вводя обозначение , , получим два семейства комплексно-сопряженных характеристик

.

Вводя новые переменные , получим канонический вид уравнения (1):

. (3)

В) Если , то уравнение (1) принадлежит к параболическому виду, обозначая получим семейство характеристик . Вводя новые переменные

, ,

где – произвольная функция, удовлетворяющая условию , получим каноническую форму для уравнения (1):

. (4)

Для дальнейшего упрощения уравнений (2) или (2’), (3), (4) вводим новую функцию по формуле , где и некоторые произвольные постоянные.

В результате преобразований, получаем:

(5)

– каноническая форма для эллиптического уравнения;

(6)

или

(6’)

– канонические формы для гиперболического уравнения.

(7)

– каноническая форма для параболического уравнения.

Замечание.

Аналогичный признак принадлежности к тому или иному типу уравнения может быть положен в основу классификации линейных уравнений вида

(**)

со многими независимыми переменными , где , , с – постоянные коэффициенты.

Уравнение (**) называется:

эллиптическим, если все коэф­фициенты не равны нулю и имеют один и тот же знак;

гиперболическим, если коэффи­циенты все не равны нулю, и все, кроме одного (например, ), имеют один и тот же знак, а имеет противоположный знак;

параболическим, если коэффи­циенты все, кроме одного (например, ), не равны нулю и имеют один и тот же знак, а и .