Метод Фурье (метод разделения переменных)

Рассмотрим процедуру метода Фурье на примере решения смешанной задачи для уравнения теплопроводности в случае одной пространственной переменной.

Задача 1. Найти решение однородного уравнения

, (1)

удовлетворяющее начальному условию

, (2)

и нулевым (однородным) граничным условиям:

, , (3)

Суть метода состоит в том чтобы искать нетривиальные решения уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям (3), в виде

. (4)

Подставляя (4) в (1), получим

или

Поскольку левая часть уравнения является функцией только от , а правая только от , то равенство возможно, если они равны постоянной:

Отсюда получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения:

, (5)

, (6)

и функция удовлетворяет условиям , .

Таким образом, для определения функции имеем задачу на собственные значения: найти те значения параметра , при которых существуют нетривиальные решения задачи

(7)

(задачи Штурма-Лиувилля).

Рассмотрим три случая, когда .

1. Пусть . Найдем решение дифференциального уравнения .

, – два вещественных корня. Общее решение имеет вид

. Требование граничных условий означает:

Определитель системы , следовательно, и при существуют только тривиальные решения .

2. Пусть . Найдем решение дифференциального уравнения .

, – один кратный корень. Общее решение имеет вид

. Требование граничных условий означает:

Откуда следует, что и при существуют только тривиальные решения .

3. Пусть . Найдем решение дифференциального уравнения .

, – два комплексно-сопряженных корня. Общее решение имеет вид

. Требование граничных условий означает:

. (*)

Система имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, кода её определитель равен нулю или , следовательно, . Таким образом, нетривиальные решения задачи (7) возможны только если

Из системы (*), получаем и, следовательно,

будут собственными функциями задачи Штурма-Лиувилля (7).

Собственные функции определены с точность до постоянного множителя .

Перейдем к решению уравнения (5). При оно имеет вид

Решаем это уравнение разделением переменных , откуда, или

где – произвольные постоянные. Таким образом, согласно (4) только функции

Удовлетворяют уравнению (1) и граничным условиям (3).

Образуем формальный ряд (как сумму решений)

, (8)

и потребуем, чтобы функция удовлетворяла начальному условию (2) , получим

Полученный ряд представляет собой разложение функции в ряд Фурье по синусам в интервале . Коэффициенты этого ряда определяются по известным формулам

(9)

Итак, функция, определенная в виде ряда (8), коэффициенты которого определены формулами (9) есть решение поставленной задачи (1) – (3).

Задача 2.

Найти решение неоднородного уравнения теплопроводности

, (10)

удовлетворяющее начальному условию

, (11)

и нулевым (однородным) граничным условиям:

, , (12)

Предположим, что функция непрерывна, имеет непрерывную производную и для всех выполняется условие .

Решение задачи (10) – (12) будем искать в виде

, (13)

где – есть решение задачи

, (14)

а функция – есть решение задачи

(15)

Задача (15)– это задача 1 и её решение известно.

Рассмотрим задачу (14). Будем искать её решение в виде ряда

(16)

по собственным функциям задачи соответствующей Штурма-Лиувилля (7)

Подставим (16) в дифференциальное уравнение задачи (14)\, для этого найдем производные:

и .

В результате подстановки получим

Разложим функцию в ряд Фурье по синусам

, где

Тогда получим

Отсюда следует,

К полученным дифференциальным уравнениям надо добавить начальные условия задачи (14):

или

Решаем обыкновенное дифференциальное уравнение методом Бернулли.

, .

Тогда

, (17)

Подставляя (17) в (16), получим решение задачи (14)

. (18)

Функция будет решением задачи 2.

Задача 3.

Найти решение неоднородного уравнения

, (19)

удовлетворяющее начальному условию

, (20)

и неоднородным граничным условиям:

, . (21)

Введем новую неизвестную функцию , где

Функцию находим, как решение уравнения

, где ,

с начальными условиями

и краевыми условиями

, .

тогда решение сведется к задаче 2.

Для существования классического решения задачи 3, необходимо, чтобы функции , , были непрерывными и выполнялись условия согласованности , .

Для функции , непрерывной в замкнутой области справедлив принцип максимального значения.

Теорема. Если функция , удовлетворяет уравнению теплопроводности в точках области , то максимальное и минимальное значения функции достигаются или в начальный момент времени , или в точках границы на отрезке и .