Определенный интеграл

2.1.Формула Ньютона-Лейбница. Свойства определенного интеграла. Площадь криволинейной трапеции.

Формула Ньютона-Лейбница. Если f(x) непрерывна на отрезке [a, b], и F(x) - некоторая первообразная функции ,

то .
Док-во. Мы установили, что функция - первообразная непрерывной f(x). Так как F(x) - тоже первообразная, то Ф(x) = F(x) + C. Положим в этом равенстве x = a. Так как , то . В равенстве переобозначим переменные: для переменной интегрирования t вернёмся к обозначению x, верхний предел x обозначим b. Окончательно, .
Разность в правой части формулы Ньютона-Лейбница обозначается специальным символом: (здесь читается как "подстановка от a до b"), поэтому формулу Ньютона-Лейбница обычно записывают так: .
Пример применения формулы Ньютона-Лейбница: .

Свойства интеграла

Линейность

Аддитивность

Монотонность

Если и a < b, то В частности, если то

Вычисление площади криволинейной трапеции. Пусть на отрезке [a,b] (b>a) задана непрерывная функция y = f(x), принимающая на этом отрезке неотрицательные значения: при . Требуется определить площадь S криволинейной трапеции ABCD, ограниченной снизу отрезком [a,b], слева и справа - прямыми x = a и x = b, сверху – функцией y = f(x).
Для решения этой задачи разделим произвольным образом основание AD фигуры точками x₀ = a, x₁, x₂, …, x_n-1 = a, x_n = b на n частей [x₀, x₁], [x₁, x₂], …, [x_i-1, x_i], …, [x_n-1, x_n]; символом будем обозначать длину i-го отрезка: . На каждом из отрезков [x_i-1, x_i] выберем произвольную точку , найдём , вычислим произведение (это произведение равно площади прямоугольника P_i с основанием [x_i-1, x_i] и высотой ) и просуммируем эти произведения по всем прямоугольникам. Полученную сумму обозначим S _ступ: .
S_ступ равно площади ступенчатой фигуры, образованной прямоугольниками P_i, i = 1,2,…,n; на левом рисунке эта площадь заштрихована. S_ступ не равна искомой площади S, она только даёт некоторое приближение к S. Для того, чтобы улучшить это приближение, будем увеличивать количество n отрезков таким образом, чтобы максимальная длина этих отрезков стремилась к нулю (на рисунке ступенчатые фигуры изображены при n = 7 (слева) и при n = 14 (справа)). При разница между S_ступ и S будет тоже стремиться к нулю, т.е.
.