Оценка градиента функционала качества

Оценка градиента по отношению к варьированию начальных условий может осуществляться одним из трех способов:

1. Непосредственно вычислить градиент как конечные разности функционала качества, например, как в следующей формуле центральных разностей для каждой метеовеличины в каждом узле модельной сетки. Этот способ на практике требует вычислений градиента. С учетом того, что в стандартной модели прогноза погоды или более, этот метод будет вычислительно затратный.

2. Вычислять градиент по только что полученной формуле, это означает, что на каждом шаге к надо будет применять последовательность , что также приводит к большому количеству повторяющихся вычислений.

3. Использовать метод сопряженных операторов, позволяющий оперировать не с матрицами, а с операторами.

где

Последовательность операций может быть сформулирована как следующая:

1. Выполняем интегрирование модели от до , используя прямую и нелинейную версию модели. В качестве начальных условий используется первое приближение, т.е. результат моделирования с предыдущего шага. На каждом временном шаге сохраняем значения ;
2. Для момента времени вычисляем , что соответствует правому верхнему углу приведенной таблицы. Обозначаем этот результат как - это будет вектор сопряженных переменных.
3. Интегрируем сопряженную переменную обратно по времени на . Для этого заменяем на и вычисляем вектор сопряженных переменных на этом шаге через сопряженные переменные на следующем шаге, полученные в п.2.

При этом используется информация о , полученная при прямом интегрировании модели. В приведенной таблице это соответствует переходу из правого верхнего угла вниз и налево.

1. Переходим еще на один шаг обратно во времени и повторяем пункт 3, пока не доходим до . Для этого момента времени представляет собой минус градиент по отношению к .
2. Вычисляем полный градиент, добавляя слагаемое, соответствующее минимизации расхождения анализа и моделирования

Примененный в таком виде данный метод имеет три стадии (рисунок Б3):

1. Интегрирование прямой модели (шаг 1);

2. Обратное интегрирование сопряженных переменных (шаги 2-4);

3. Добавление модельного вклада и вычисление новых начальных условий.

Оптимальное состояние достигается, когда , т.е. функционал качества достигает минимума.

Рисунок Б3. Иллюстрация метода сопряженных переменных.