Додаток

1. Як відомо, n!=1·2·3·4·5·…·(n-2) · (n-1) · n (**)

Якщо перебирати по порядку ці множники, то через кожних p₁, їх число рівне , але із них множників діляться на , -- діляться на і т.д.

Отже, число множників в рівності (**), до складу яких множник виходить рівно один, два, три і т д разу, відповідно дорівнює числам:

і т.д.

Тому,

2. Неважко повністю досліджувати питання про магічні квадрати при n=3. Дійсно, S₃ = 15, і існує лише вісім способів представлення числа 15 у вигляді суми різних чисел (від одиниці до дев’яти):

15 = 1+5+9 = 1+6+8 = 2+4+9 = 2+5+8 = 2+6+7 = 3+4+8 = 3+5+7 = 4+5+6.

Відмітимо, що кожне з чисел 1, 3, 7, 9 входить в дві, а кожне з чисел 2, 4, 6, 8 – в три вказані суми і лише число 5 входить в чотири суми. З другого боку, з восьми три клітинних рядків: три горизонтальних, три вертикальних і два діагональних – через кожну з кутових квадрата проходить по три, через центральну клітку по чотири і через кожну з решти – по два ряди. Отже, число 5 має обов’язково стояти в центральній клітці, числа 2, 4, 6, 8 – в кутових, а числа 1, 3, 7, 9 – в решті клітинок квадрата.

[1] Фігури запозичені з книги В.І. Обрєїмова «Потрійна головоломка»