Погрішність обчислення функції

З метою спрощення математичних перетворень, розглянемо функцію двох аргументів , припускаю її досить гладкої, тобто крапки, що має в достатній околиці ( x, y) безперервні похідні першого порядку. Припустимо також, що відомо абсолютні , і відносні , погрішності її аргументів. Поставимо задачу визначити абсолютну й відносну погрішності обчислення функції в крапці (x, y).

Оцінимо абсолютну величину погрішності функції. Із цією метою, використовуючи теорему Лагранжа, одержиме

(1.9)

де .

Використовуючи, далі властивість модуля суми, маємо

.

І, нарешті, крім залежності оцінки від невідомих величин , одержиме

,

де , ,

.

Позначимо

.

Якщо на качану перетворень (1.9) до вихідного вираження додати , те в результаті аналогічних дій одержимо другові оцінку

,

де

,

де

, .

Тоді, мабуть, у якості необхідно взяти найменшу з них, тобто покласти

.

Якщо ж допустити, що цілком природно, достатню малість абсолютних погрішностей , те в якості можна взяти більше просту, однак трохи завищену оцінку

. (1.10)

Дійсно, у силу , , очевидно й .

У цьому випадку з (1.10) для треба вираження

(1.11)

Аналогічним образом, для функції декількох змінних , одержиме

і

,

де

.