Погрішності виконання арифметичних операцій

Установимо характер розвитку погрішностей при виконанні арифметичних операцій. Позначимо , де - один із символів ±, ∙, ÷. Будемо вважати відомими погрішності операндов ∆(x), ∆(y), δ(x), δ(y) і позначимо через , , їхні точні значення.

Додавання. У цьому випадку , де - числа одного знака. Тоді справедливі наступні оцінки

.

Таким чином, маємо

, (1.1)

т.е. абсолютна погрішність суми двох наближених чисел дорівнює сумі абсолютних погрішностей доданків.

Отриманий результат очевидним образом узагальнюється й на довільне число доданків.

Далі, тому що

,

тобто

. (1.2)

Вирахування. У цьому випадку , де значення - числа одного знака. Також, як і у випадку додавання, отут

т.е.

, (1.3)

що збігається з (1.1).

У такий же спосіб,

,

і

, (1.4)

що збігається з (1.2).

Аналіз виражень (1.3), (1.4) показує, що при вирахуванні близьких чисел, тобто при z > 0, погрішність?(z) може перевищувати результат, а величина?(z)>?. Тому при обчисленнях необхідно уникати вирахування близьких чисел.

Множення. У цьому випадку . Тоді

Далі, з огляду на

,

маємо

.

У такий спосіб

, (1.5)

а

. (1.6)

Відзначимо, якщо або ‹‹ 1, ті

. (1.61)

Ділення. У цьому випадку . Тоді

З огляду на, що , маємо

.

У такий спосіб

, (1.7)

Отут, природно, передбачається, що .

Далі, тому що

,

ті

(1.8)

Якщо ‹‹ 1, ті

,

що збігається з (1.61).

Зведемо в таблицю отримані результати.

Таблиця 1.1. Погрішності виконання арифметичних операцій

№	Операція			Примітки
1.	z=x+ y
2.	z=x - y
3.	z=x y			, якщо або ‹‹ 1
4.				, якщо ‹‹ 1